5. Относительная частота события. Статистическое определение вероятности.

Относительной частотой события называется отношение числа испытаний, в котором событие А появилось к общ числу опред-х испытаний.

P*(A)= m/ˢ

n-общ число испытаний

m- число появлений события А

Статистическое определение вероятности. Вероятностью события А в данном  испытании называется число Р(А), около которого группируются значения относительной  частоты при больших n.  

6. Геометрическое определение вероятности.

Геометрическая вероятность события А определяется отношением:  ,  где m(G), m(A) – геометрические меры всего пространства элементарных исходов и события А.

7. Алгебра событий.

Суммой двух событий А и В называется событие С = А + В, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В.

Если события А и В совместные, то их сумма означает наступление или события А, или события В, или обоих событий А и В.

Если события А и В несовместные, то их сумма означает наступление или события А , или события В.

Произведением двух событий А и В называется событие, С = АВ состоящее в одновременном появлении А и В.

Аналогично определяются сумма и произведение n событий.

8. Условная вероятность.

Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.

Пусть Ω, F, P  — фиксированное вероятностное пространство. Пусть A, B ϵ F суть два случайных события, причём P(B)>0. Тогда условной вероятностью события A при условии события B называется P(A|B)= .

9. Теоремы умножения вероятностей.

Два события A и B называются зависимыми, если вероятность появления каждого из них зависит от того, появилось ли другое событие или нет.

Два события A и B называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось ли другое событие или нет.

Вероятности независимых событий называются безусловными.

Условной вероятностью события B называется вероятность этого события, вычисленная в предположении, что событие A уже произошло.

Обозначается P(B|A) или P_A(B).

Условная вероятность события A определяется аналогично.

Теорема 1. Если A и B независимые события, то их условные вероятности совпадают с обычными вероятностями, т. е. P(A|B)=P(A) P(B|A)=P(B)

Теорема 2. Если A и B зависимые события, то вероятность их совместного появления (произведения) равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т. е. . P(AB)=P(A)P(B/A) . P(AB)=P(B)P(A/B)

Cледствие: Вероятность совместного появления (произведения) нескольких зависимых событий A1,A2,…Ak равна произведению вероятности одного из этих событий на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже произошли, т. е. P(A1,A2,…Ak)=P(A1)P(A2/ A1)P(A3/A1A2)…….P(Ak/A1A2…Ak-1)

.

Теорема 3. Если события A и B независимые, то вероятность их совместного появления (произведения) равна произведению их вероятностей, т. е. P(AB)=P(A)P(B)

Следствие: Вероятность совместного появления (произведения) нескольких независимых событий A1,A2,…,Ak равна произведению вероятностей данных событий, т. е. P(A1A2… Ak)=P(A1)P(A2)P(A3)…….P(Ak)