15. Формула Бернулли.

Если проводится несколько испытаний, причем вероятность появления события A в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события A.

Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых возможно только два исхода: либо событие A появится, либо нет.

Условимся считать, что вероятность события A в каждом испытании одна и та же и равна p.

Тогда вероятность ненаступления события A в каждом испытании так же постоянна и равна 1-p=q

Выше описанная совокупность условий называется схемой независимых испытаний Бернулли.

Теорема 1. Если вероятность p наступления события A в каждом из независимых испытаний постоянна, то вероятность Pn(K) того, что в n независимых испытаниях событие A появится ровно k раз, вычисляется по формуле .

16. Локальная теорема Муавра-Лапласа.

Если в схеме Бернулли число n велико,а число p отлично от 0 и 1, тогда:

17. Формула Пуассона.

Если число испытаний n достаточно велико, а вероятность появления события A в каждом испытании постоянна и равна p, причем p<0,1 , то применение формулы Муавра-Лапласа становится невозможным.

Теорема 1. Если вероятность p появления события A в каждом испытании стремится к нулю при неограниченном увеличении числа испытаний, причем произведение np сохраняет постоянное значение, т. е. np=a, то вероятность Pn(k) того, что в n независимых испытаниях событие A появится k раз удовлетворяет предельному равенству:

Строго говоря, условие теоремы 2: при , нарушает исходные предпосылки в схеме независимых испытаний Бернулли, в которой p=const. Однако, если вероятность p постоянна и достаточно мала, а число n испытаний велико, причем произведение a=np незначительно, то из предельного равенства можно записать приближенную формулу Пуассона:

18. Интегральная теорема Лапласа.

Теорема Интегральная теорема Лапласа Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Pn(k1, k2) того, что событие А появится в п испытаниях от k1 до k2 раз, приближенно равна определенному интегралу:

 

19. Наивероятнейшее число появления события.

Наивероятнейшим числом k0 наступления события A в n независимых испытаниях называется число, вероятность которого, Pn(k0) по крайней мере не меньше вероятностей Pn(k) вычисленных для всех остальных k.

Наивероятнейшее число k0 - наступления события A в n независимых испытаниях находится из неравенства

Т. к. , то обязательно найдется хотя бы одно целое число k0, удовлетворяющее неравенству (1). Если обе части неравенства (1) – дробные числа, то k0 - единственное целое число, расположенное между данными дробями.

Если число np-q - целое, то наивероятнейших чисел будет два: k0 и K0+1

Если число np - целое, то наивероятнейшее число k0=np.

20. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности.

Вероятность отклонения относительной частоты   события (n – общее число испытаний, m – число появлений события в n испытаниях) от постоянной вероятности p этого события при большом числе испытаний и 0<p<1 приближенно описывается формулой

 

, где   – произвольная константа;   – функция Лапласа,  .

Если из четырех величин –   – три известны, то четвертую находят из приведенной выше формулы.