25. Плотность распределения.
Плотностью распределения вероятностей (дифференциальной функцией) непрерывной случайной величины X называется функция f(x), равная первой производной от функции распределения f(x), т.е. f(x)=F’(x).
Свойства функции f(x):
Плотность
распределения неотрицательная функция,
т.е.
.
Несобственный
интеграл от плотности распределения
на интервале
равен единице, т.е.
Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b), то
Вероятность
попадания случайной величины в интервал
(a,b)
может быть вычислен по формуле
(Ньютона-Лейбница):
Если известна плотность распределения f(x), то функция распределения F(x) может быть найдена по формуле:
26. Числовые характеристики случайных величин.
Пусть непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения f(x). Тогда аналогично ДСВ для НСВ могут быть определены числовые характеристики.
Математическим
ожиданием
Mx
НСВ X,
возможные значения которой принадлежат
всей оси OX,
называют определенный интеграл:
.
Дисперсией Dx НСВ X, возможные значения которой принадлежат всей оси OX, называется значение интеграла
.
Замечание 1. Свойства математического ожидания и дисперсии ДСВ сохраняются и для НСВ.
Замечание
2. На практике
для вычисления дисперсии удобно
пользоваться формулой:
Средним
квадратическим отклонением
НСВ X
называется корень квадратный из
дисперсии, т.е.
.
Модой M0(x) НСВ X называется такое значение этой величины, плотность вероятности которого максимальна.
Медианой Me(x) НСВ X называется такое значение этой величины, что выполняется равенство:
.
27. Математическое ожидание, мода, медиана.
Пусть непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения f(x). Тогда аналогично ДСВ для НСВ могут быть определены числовые характеристики.
Математическим ожиданием Mx НСВ X, возможные значения которой принадлежат всей оси OX, называют определенный интеграл: .
Модой M0(X) НСВ X называется такое значение этой величины, плотность вероятности которого максимальна.
Медианой Me(X) НСВ X называется такое значение этой величины, что выполняется равенство:
.
28. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение.
Дисперсией D(x) ДСВ X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины X, т. е.
.
Вероятностный смысл D(X): дисперсия ДСВ X характеризует меру рассеяния возможных значений случайной величины X относительно ее математического ожидания (в квадратных единицах).
Свойства
D(X):
Всегда
;
Если
,
то D(C)=0;
,где
;
Дисперсия
суммы и разности независимых случайных
величин равна сумме их дисперсий:
Формула для вычисления дисперсии:
Дисперсия
равна разности между математическим
ожиданием квадрата случайной величины
X
и квадратом ее математического ожидания:
.
Средним
квадратическим отклонением
(сигма) ДСВ X
называют квадратный корень из дисперсии:
Вероятностный
смысл
:
среднее квадратическое отклонение
ДСВ X
имеет тот же вероятностный смысл, что
и дисперсия, с той лишь разницей, что
измеряется в тех же единицах, что и сама
величина X.
Частные случаи:
1.
Если ДСВ X
имеет биномиальное распределение, то
ее числовые характеристики могут быть
найдены по формулам:
.
2.
Если ДСВ X
имеет геометрическое распределение,
то ее числовые характеристики могут
быть найдены по формулам:
.
3.
Если ДСВ X
имеет гипергеометрическое распределение,
то ее числовые характеристики могут
быть найдены по формулам:
.