21. Понятие и виды случайных величин.

Случайной называется величина, которая в результате испытания может принять любое заранее не известное значение из множества всевозможных значений.

Различают случайные величины двух видов: дискретные и непрерывные.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, возможные значения которой представляют собой множество изолированных фиксированных величин (ДСВ).

Число возможных значений дискретной случайной величины может быть как конечным, так и бесконечным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все возможные значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Число возможных значений непрерывной случайной величины является бесконечным.

22. Ряд распределения. Многоугольник распределения.

Законом распределения вероятностей (рядом распределениия) ДСВ называется последовательность возможных значений ДСВ и соответствующих им вероятности.

Закон распределения вероятности может быть задан:

1) Таблично. При этом первая строка содержит возможные значения ДСВ, а вторая - их вероятности.

2) графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (х1,р1), а ЗаТем соединяют их отрезами прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

3) аналитически, т.е. в виде формулы. Наиболее распространенными аналитически ми выражениями являются биноминальное, пуассоновское, геометрическое И гипергеометрическое распределение вероЯтностей.

Т.к. в одном испытании ДСВ может принять только одно значение, то множество ее всевозможных значений образуют полную группу событий и сумма их вероятностей равна единице.

23. Функция распределения.

Функция распределения – самая универсальная характеристика случайной величины. Она существует для всех случайных величин: как прерывных, так и непрерывных. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения.

Сформулируем некоторые общие свойства функции распределения.

1. Функция распределения   есть неубывающая функция своего аргумента, т.е. при   

2. На минус бесконечности функция распределения равна нулю: .

3. На плюс бесконечности функция распределения равна единице:  .

24. Вероятность попадания случайной величины на заданный участок.

Вероятность того, что случайная величина X примет значение, заключенное в некоторых пределах от α до β: α ≤ X < β. Для определенности условимся левый конец α включать в участок (α, β), а правый нет: α ≤ Х < β.

Выразим вероятность этого события через функцию распределения величины Х. Для этого рассмотрим три события: ✓ событие А, состоящее в том, что X < β; ✓ событие В, состоящее в том, что X < α; ✓ событие С, состоящее в том, что α ≤ Х < β.

Событие А по теореме сложения вероятностей равно А = В + С и его вероятность Р(А) = Р(В) + Р(С) или P(X < β) = P(X < α) + P (α ≤ Х < β). Но вероятность нахождения случайной величины левее некоторой текущей переменной есть ни что иное, как функция распределения: F(β) = F(α) + P (α ≤ Х < β) откуда

P (α ≤ Х < β) = F(β) - F(α)

т.е. вероятность попадания случайной величины на заданный участок равна приращению функции распределении на этом участке. Будем неограниченно уменьшать участок (α, β), полагая, что β→∞. В пределе вместо вероятности попадания на участок получим вероятность того, что величина примет отдельно взятое значение α:

P(X=a) = lim_β→∞ P(α ≤ Х < β) = lim_β→∞ [F(α) - F(β)]

Если в точке α функция F(x) имеет разрыв, то предел равен значению скачка функции F(x) в точке α. Если же функция F(x) в точке α непрерывна, то этот предел равен нулю. Тогда вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю.