33. Гипергеометрическое распределение.

Пусть имеется N элементов, среди которых M обладают свойством A. Случайным образом выбирается n элементов, причем выборка осуществляется без возвращения.

Рассмотрим в качестве ДСВ X количество элементов k, обладающих свойством A среди отобранных n элементов. Т. е. величина X может принимать значения: .

Вероятности этих значений определяются по формуле:

, где . (2)

Закон распределения вероятностей ДСВ X называется гипергеометрическим, если вероятности ее возможных значений определяются по формуле (2).

34. Равномерное распределение.

Закон распределения НСВ X называется равномерным, если ее плотность распределения задается в виде:

Свойства равномерного распределения

1. Зная плотность распределения, и используя формулу ,

можно найти функцию распределения:

2. Если НСВ X имеет равномерное распределение, то ее числовые характеристики могут быть найдены по формулам:

.

3. Вероятность попадания равномерно-распределенной НСВ X в интервал можно определить по формуле: .

35. Нормальное распределение.

Закон распределения НСВ X называется нормальным, если ее плотность распределения задается в виде:

,

где и - параметры нормального распределения.

Вероятностный смысл параметров нормального распределения:

- математическое ожидание,

- среднее квадратическое отклонение.

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой или кривой Гаусса.

Нормальное распределение с параметрами называют нормированным (стандартным).

Свойства нормального распределения:

1. Зная плотность распределения и используя формулу

можно найти функцию распределения: .

2. Вероятность попадания нормально-распределенной НСВ X в интервал определяется по формуле:

,где - функция Лапласа.

3. Вероятность того, что отклонение нормально-распределенной НСВ X от ее математического ожидания по абсолютной величине будет меньше заданного числа , определяется по формуле:

.Если , то .

Правило трех сигм:

Если НСВ X распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения, т. е. все значения НСВ X попадают в интервал с вероятностью близкой к единице.

Теорема 1. (центральная предельная теорема Ляпунова)

Если НСВ X представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, то влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному.

36. Показательное распределение.

Закон распределения НСВ X называется показательным, если ее плотность распределения задается в виде:

,

где - параметр показательного распределения.

Свойства показательного распределения:

1. Зная плотность распределения и используя формулу ,

можно найти функцию распределения:

2. Если НСВ X имеет показательное распределение, то ее числовые характеристики могут быть найдены по формулам:

.

3. Вероятность попадания показательно-распределенной НСВ X в интервал определяется по формуле:

,

где значения определяются по таблице.