6. Средние величины: степенные и структурные. Виды средних степенных (арифметическая, геометрическая, квадратическая, гармоническая, простая и взвешенная). Правило мажорантности.

7. Понятие структурных средних величин (мода и медиана) и способы их определения.

-Средние величины-

Средняя величина является обобщающей характеристикой совокупности однотипных явлений по изучаемому признаку. Средняя величина должна вычисляться с учетом экономического содержания определяемого показателя.

Все виды средних делятся на:

степенные (аналитические, порядковые) средние (арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая);

структурные (позиционные) средние (мода и медиана) – применяются для изучения структуры рядов распределения.

-Средние степенные величины-

Средняя степенная (при различной величине k) определяется:

(1.1).

Таблица 1.1 - Виды средних степенных величин

k	Наименование средней	Формула средней	Когда используется
1	Средняя арифметическая простая (невзвешенная)	(1.2) где xi – i-й вариант осредняемого признака ( ); n – число вариант	Используется, когда расчет осуществляется по несгруппированным данным
1	Средняя арифметическая взвешенная	(1.3), где fi – частота повторяемости i-го варианта	Используется, когда данные представлены в виде рядов распределения или группировок
-1	Средняя гармоническая взвешенная	(1.4), где .	Используется, когда известны индивидуальные значения признака и веса W за ряд временных интервалов
-1	Средняя гармоническая невзвешенная	(1.5)	Используется в случае, когда веса равны
0	Средняя геометрическая невзвешенная	(1.6)	Используется в анализе динамики для определения среднего темпа роста
0	Средняя геометрическая взвешенная	(1.7)
2	Средняя квадратическая невзвешенная	(1.8)	Используется при расчете показателей вариации
2	Средняя квадратическая взвешенная	(1.9)

В статистическом анализе также применяются степенные средние 3-го и более высоких порядков.

Правило мажорантности средних: с ростом показателя степени значения средних возрастают.

(1.10)

Средняя прогрессивная – средняя для “лучших” значений признака.

-Свойства средней арифметической-

Средняя арифметическая постоянной величины равна самой величине.

Если все варианты x_i увеличить (уменьшить) на одно и тоже число c, увеличится (уменьшится) на то же число.

. (1.11)

Если все варианты x_i увеличить (уменьшить) в одно и то же число раз k, увеличится (уменьшится) в то же число раз.

. (1.12)

Средняя арифметическая отклонений вариантов от средней арифметической равна 0.

. (1.13)

По свойству 2 при : .

Средняя арифметическая алгебраической суммы признаков равна такой же сумме средней арифметической этих признаков.

. (1.14)

Если ряд состоит из нескольких групп, общая средняя равна средней арифметической групповых средних, причем весами являются объемы группы.

, (1.15)

где – средняя арифметическая группы i;

N – общий объем ряда ( );

n_i – объем группы i ( ).

. (1.16)

-Средние структурные величины-

В условиях недостаточности средних используют структурные средние величины – моду и медиану.

Медиана (Ме) – это вариант, который находится а середине вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные (по числу наблюдений) части. В ранжированных рядах не сгруппированных данных нахождение медианы сводится к отысканию порядкового номера и значения варианта у этого номера.

Медиана в интервальных вариационных рядах рассчитывается по формуле:

, (1.17)

где х₀ – нижняя граница медианного интервала (накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);

– величина медианного интервала;

– накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

– частота медианного интервала.

Также в интервальных вариационных рядах медиана может быть найдена с помощью кумуляты как значение признака, для которого

или . (1.18)

Главное свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины: .

Модой (Мо) вариационного ряда называется вариант, которому соответствует наибольшая частота.

Для вычисления моды в интервальном ряду сначала находится модальный интервал, имеющий наибольшую частоту (или наибольшую плотность распределения – отношение частоты интервала к его величине n_i/h_i – в интервальном ряду с неравными интервалами), а значение моды определяется линейной интерполяцией:

, (1.19)

где х_о – нижняя граница модального интервала;

– величина модального интервала;

, , – частота n_i (в интервальном ряду с равными интервалами) или плотность распределения n_i/h_i (в интервальном ряду с неравными интервалами) модального, до и послемодального интервала.

Мода так же, как и медиана обладает определенной устойчивостью к вариации признака. Если в совокупности первичных признаков нет повторяющихся значений, то для определения моды проводят группировку.

Графически отобразить моду по гистограмме можно следующим образом: нужно взять столбец, имеющий наибольшую высоту, и из его левого верхнего угла провести отрезок в угол последующего столбца, а из правого угла – в верхний правый угол предыдущего столбца, абсцисса точки пересечения отрезков и будет соответствовать модальному значению признака в изучаемой совокупности. Медиану приближенно можно определить графически - по кумуляте. Для этого высоту наибольшей ординаты, которая соответствует общей численности совокупности, делят пополам. Через полученную точку проводят прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения ее с кумулятой. Абсцисса точки пересечения и есть медиана (рисунок 1.1)

Р ис. 1.1 Графическое отображение интервального вариационного ряда

В симметричных рядах имеет место следующее соотношение моды, медианы и средней арифметической (1.20).

В случае, если (1.21), имеет место левосторонняя асимметрия ряда.

В случае, если (1.22), имеет место правосторонняя асимметрия ряда.

Мода и медиана, в отличие от степенных средних, являются конкретными характеристиками ряда. Медиана – характеризует центр, вычисляется проще и не чувствительна к концам интервала. Мода – наиболее вероятное значение в изучаемой совокупности (например, наиболее возможные результаты).

1 2 3

1 – распределение с левосторонней асимметрией

2 – распределение с правосторонней асимметрией

3 – нормальное (симметричное) распределение