4. Понятие сложной функции.

О п р е д е л е н и е. Если на некотором промежутке определена функция с множеством значений , а на множестве определена функция , то функция называется сложной функцией от , а пере -менная - промежуточной переменной сложной функции.

Например, - сложная функция : , ; функция - также сложная функция: .

ТЕОРЕМА. Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке Тогда сложная функция непрерывна в точке

ФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

5.1. Понятие производной.

Пусть на некотором промежутке определена функция . Возьмём любую точку и зададим аргументу в точке произвольное приращение такое, что точка также принадлежит . При этом функция получит приращение .

О п р е е д е л е н и е. Производной функции в точке называется предел при отношения прира -щения функции в этой точке к приращению аргумента (при условии, что этот предел существует).

Для обозначения производной функции в точке используют символы или .

Итак, по определению

Если функция имеет конечную производную в каждой точке , то производную можно рассмат -ривать как функцию от , также определённую на .

2. Геометрический смысл производной.

Пусть функция определена на интервале и пусть точка на графике функции соответствует значению аргумента , а точка - значению аргумента . Проведём через точки и прямую и назовём её секущей.. Обозначим через угол между секущей и осью . Очевидно, этот угол зависит от (см. рис.) Если существует то прямую с угловым коэффициентом , проходящую через точку

, называют предельным положением секущей при .

О п р е д е л е н и е . Касательной к графику функции в точке называется предельное положение секущей при ..

Таким образом, для существования касательной необходимо и достаточно существование предела .

Y

P

M

N

K L x

O

Здесь, угол это угол , угол - это угол

Докажем, что если функция имеет производную в точке , то существует касательная в точке , причём угловой коэффициент этой касательной (т.е. тангенс её наклона к оси ) равен значению производной .

Действительно, из треугольника получаем,

,

Отсюда . Перейдём в этом равенстве к пределу при . Так как существует производная

, то существует и предел . Тогда существует и предел

.

Следовательно, существует и предел .

Но это и означает, что существует предельное положение секущей , т.е. существование касательной. Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид .