2. Классификация функций.

1. Основные элементарные функции:

1) - постоянная функция, которая при всех значениях принимает одно и то же значение.

2) Степенная функция , где - любое действительное число.

3) Показательные функции , в частности, .

4) Логарифмические функции , , в частности, .

5) Тригонометрические функции: .

6) Обратные тригонометрические функции: .

2. Элементарные функции. - это функции, которые получаются из основных элементарных алгебраических операций, или с помощью суперпозиции этих функций. Например: .

Отдельно среди элементарных функций выделяют многочлены, т.е. функции вида:

;

рациональные дроби: , где и - многочлены степени и , соответственно

и иррациональные функции, т.е. функции, которые содержат хотя бы один корень любого порядка, например, и т.п.

4. Предел функции

О п р е д е л е н и е 1 Число называется пределом функции в точке (или при ), если

для любой сходящейся к точке последовательности значений аргумента ( ), соответствующая последовательность значений функции в этих точках сходится к числу

О п р е д е л е н и е 2 Число называется пределом функции в точке (или при ), если для любого наперёд заданного можно найти , такое что для всех ( ), удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Можно доказать, что оба эти определения предела последовательности равносильны.

Для обозначения предела функции используется следую- щий символ: .

Замечание. Функция может иметь в точке только один предел, так как последовательность может иметь только один предел.

Свойства предела функции.

Пусть . Тогда

1. Функции также имеют пределы в точке , равные соответственно, .

2. Если для всех точек из некоторой окрестности точки выполняется неравенство: , то и для пределов выполняется такое же неравенство, т.е. .

3. Если для всех точек некоторой окрестности точки выполняется неравенство и кроме того , то предел функции в точке также существует и равен

Эти свойства автоматически получаются из соответствую- щих свойств предела последовательности, на основании определения 1 предела функции.

3.5. Односторонние пределы.

О п р е е д е л е н и е 3 Число называется правым (левым) пределом функции в точке , если для любого существует такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Обозначают односторонние пределы следующим образом:

Связь между односторонними пределами и пределом функции устанавливает следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1. Функция имеет в точке

предел тогда и только тогда, когда в этой

точке существуют оба односторонних предела

и они равны между собой и равны пределу

функции в этой точке.

Доказательство. Пусть Тогда, согласно определению предела функции, слева и справа, для любого существуют числа и , такие что для всех , удовлетворяющих неравен- ству , и для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Возьмём . Тогда для всех

, удовлетворяющих неравенствам , , или неравенству , выполняется нера- венство , а это, согласно определению 2, и означает, что . Обратное утверждение оче -видно: если существует предел функции в точке , то существуют и односторонние пределы в этой точке и они равны между собой.