Асимптоты графика функции.
При
исследовании поведения функции на
бесконечности, т.е. при
,
или вблизи точек разрыва 2 – го рода
часто оказывается, что график функции
сколь угодно близко приближается к
той или иной прямой. Такие прямые
называются асимптотами.
Существуют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.
О
п р е д е л е н и е 1.
Прямая
называется вертикальной
асимптотой
графика функции
,
если хотя бы одно из предельных
значений
или
равно
или
.
О
п р е д е л е н и е 2.
Прямая
называется горизон-
тальной асимптотой
графика функции
при
или
,
если
.
О
п р е д е л е н и е 3.
Прямая
(
)
называ- ется наклонной
асимптотой
графика функции
при
,
если функцию
можно представить в виде
,
где
при
или
.
При
этом числа
и
,
задающие уравнение наклонной асимптоты
находятся по следующим формулами:
Практически
целесообразно искать асимптоты в
следующем порядке: 1) вертикальные
асимптоты (если есть точки разрыва
2 – го рода 2) наклонные асимптоты.
Горизонтальная асимптота - частный
случай наклонной асимптоты при
или
.
Горизонтальная асимптота - это частный
случай наклонной асимптоты при
или
,
в случае, если
.
ЗАМЕЧАНИЕ
1. Если хотя бы одно из чисел либо
,
либо
,
то график функции не имеет ни
наклонной ни горизонтальной асимптоты.
ЗАМЕЧАНИЕ 2. график функции не может иметь больше двух наклонных асимптот.
ПРИМЕР. Найти асимптоты графика функции
и
построить её график.
В область определения этой функции не входит точка . Найдём в этой точке односторонние пределы.
Следовательно, - вертикальная асимптота графика.
Найдём
наклонную асимптоту:
.
Таким образом, наклонная асимптота
имеет уравнение
Чтобы
поточнее построить график, найдём
ещё нули функции: если
,
то
;
если
,
то
Пунктирными линиями на графике построим асимптоты.
У
1
-3 -1 О 1 х
-3
Схема полного исследования функции
Найти область определения функции.
Найти точки пересечения графика функции с осями координат (нули функции).
Исследовать функцию на «чётность - нечётность». Если
,
то функция называется чётной
и её график симметричен относительно
оси Оу. Если
,
то функция называется
нечётной
и её график симметричен относительно
начала координат. Если функция не
является ни чётной ни нечётной, то
её называют функцией общего
вида.Проверка периодичности функции (обычно для тригонометрических функций).
Найти асимптоты (вертикальные, наклонные)
Исследование с помощью 1-й производной (критические точки, интервалы монотонности, экстремумы).
Исследование с помощью 2-й производной (интервалы выпуклости, точки перегиба).
Построение графика.
Рассмотрим примеры.
1
Провести полное исследование и
построить график функции
.
1)
Область определения:
,
т.е.
.
2).
Нули функции:
.
в ноль обращаться не может.
3).
.
следовательно функция общего вида.
4). Не периодична.
5). Асимптоты. Вертикальная асимптота возможна в точке . Найдём в этой точке односторонние пределы.
Следовательно, - вертикальная асимптота.
Найдём наклонную асимптоту.
т.е.
наклонная асимптота имеет уравнение
6). Исследование с помощью 1-й производной.
Критические
точки:
.
Определим интервалы монотонности и точки экстремума. Пост- роим числовую ось
+
-
+
1
Исследование с помощью 2-й производной
Построим числовую прямую
-
1 + х
Построим график
Y
4,8
-1 -0,4 O 1 2,4 x
-
0,8
Провести полное исследование и построить график функции
.
1).
Область определения этой функции:
,
или
.
2).
Нули функции:
3).
и
,
т.е. функция общего вида.
4). Не периодична.
5). Вертикальная асимптота возможна в точке . Найдём односторонние пределы в этой точке:
В точке график имеет вертикальную асимптоту.
Найдём наклонную асимптоту в виде .
,
так как степень числителя меньше
степени знаменателя.
Таким
образом, график имеет горизонтальную
асимптоту
6). Исследование с помощью 1-й производной:
Критическая точка : при . Построим числовую прямую
+ -1 - 1 + х
Исследование с помощью 2-й производной:
при
.
Построим числовую ось:
+ -1 + 2 _ х
8). Осталось построить график
у
1
-1 О
1 2 х
Рассмотрим ещё один пример для случая, когда график функции имеет одностороннюю асимптоту
3.
Провести полное исследование и
построить график функции
.
1). Область определения этой функции - вся числовая прямая.
2)
Нули функции:
3).
и
,
т.е. функция общего вида.
4).. Не периодичная.
5). Вертикальных асимптот нет, так как нет точек разрыва.
При нахождении наклонных асимптот придётся отдельно находить пределы при и , из - за свойств показательной функции.
(При
вычислении второго предела мы
использовали правило Лопиталя). Итак,
при
график имеет горизонтальную асимптоту
.
Следовательно, при график асимптоты не имеет.
6).
при
Если
при
.
Следовательно,
в точке
функция имеет минимум
7). Найдём вторую производную
.
при
.
Если
и график имеет выпуклость, направленную
вверх. Если
и график имеет выпуклость, направленную
вниз.
Построим график функции.
Y
-1 0 1 x
-1
Таким образом можно построить график любой функции.
Библиографический список.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч.1 - М.Наука, 1971.
Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. – Санкт – Петербург, 2001.
Шипачёв В.С. Высшая математика. – М. Высш.шк., 1985.