§ 4. Непрерывность функции.

1. Основные определения.

Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки .

О п р е д е л е н и е 1. Функция называется непрерыв -ной в точке , если предел функции и её значение в этой точке совпадают, т .е. . (1)

Так как , то соотношение (1) можно записать в виде , т.е. для непрерывной функции можно переставлять знак функции и знак предела.

О п р е д е л е н и е 2. Функция называется непрерыв- ной в точке , если для любой последовательности значе -ний аргумента , сходящейся к точке , соответствующая последовательность значений функции в этих точках сходится к .

О п р е д е л е н и е 3. Функция называется непрерыв- ной в точке , если для любого существует , такое что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

ЗАМЕЧАНИЕ. Если

, то функцию называют непрерывной в точке справа ( слева) Если функция непрерывна в точке справа и слева, то она непрерывна в этой точке.

Так как условия и равносильны, то неравенство (1) можем переписать в виде

. (2)

Разность называется приращением аргумента в точке , а разность называется приращением функции в точке . Тогда равенство (2) в новых обозначениях принимает вид

, (3)

Соотношение (3) является ещё одним определением непрерывности функции:

О п р е д е л е н и е 4. Функция называется непрерыв- ной в точке , если её приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при , другими словами бесконечно малому приращению аргумента отвечает бесконечно малое приращение функции.

Арифметические действия с непрерывными функциями.

Если функции и непрерывны в точке , то функции также непрерывны в точке .

О п р е д е л е н и е 5. Функция непрерывна на отрезке , если она непрерывная в каждой точке этого отрезка.

ЗАМЕЧАНИЕ. Все элементарные функции непрерывны в своей области определения.

2. Классификация точек разрыва.

О п р е д е л е н и е 1. Точка называется точкой разрыва функции если в этой точке нарушается её непрерыв -ность.

В соответствии с определениями предыдущего пункта, функция будет непрерывной в точке если в этой точке выполняются все равенства

(4)

В зависимости от того, какое из этих равенств не выпол -няется, получаем различные типы точек разрыва.

1. Устранимый разрыв.

Если . Этот разрыв можно устранить, доопределив функцию, положив . Например, имеет разрыв в точке , которая не входит в область определения. Но если преобра -зуем это выражение, то получим

,

т.е. график этой функции - это прямая; точке отвечает выколотая точка на графике. Разрыв можно устранить, поло - жив .

2. Разрыв 1-го рода.

Если , но оба эти предела конечны, то говорят, что в точке функция имеет разрыв

1-го рода (или «конечный скачок»). Рассмотрим на примерах:

1)

. Они не совпадают, но оба конечны. Следовательно, в точке функция имеет разрыв 1-го рода. На графике это выглядит таким образом:

y

1

х

-1

3. Разрыв 2-го рода.

Если хотя бы один из пределов равен бесконечности, то говорят, что в точке функция имеет разрыв 2-го рода. Например, . Точка не входит в область определения (точка возможного разрыва). Найдём в этой точке односторонние пределы:

И ещё оценим поведение функции на бесконечности:

Построим схематический рисунок

У

2

1

0. х

О п р е д е л е н и е 2. Функция называется кусочно –непрерывной на отрезке , если она непрерывна во всех внутренних точках отрезка , за исключением, может быть конечного числа точек разрыва 1-го рода и кроме того имеет односторонние пределы на концах отрезка. Функция называется кусочно-непрерывной на числовой прямой, если она кусочно непрерывна на любом отрезке.

Например, рассмотрим функцию

Она задана с помощью трёх функций, каждая из которых непрерывна на своём участке числовой прямой. Разрывы возможны только в точках, где функция меняет своё выражение, т.е. в точках и Найдём односторонние пределы в этих точках

Пределы не совпадают, следовательно в точке функция имеет разрыв 1-го рода.

О дносторонние пределы совпадают. Это означает, что - точка непрерывности функции. Согласно определению, эта функция кусочно-непрерывна на числовой прямой

У

2

1

0 1 3 х

Другим примером кусочно-непрерывной на всей числовой прямой функции может служить функция (целая часть х), график которой приведён на рис. 4 из пункта 3.2.