3. Основные свойство непрерывных функций.

Сформулируем их в виде теорем, доказывать которые не будем.

1 ТЕОРЕМА 1 (об устойчивости знака непрерывной функции) Пусть функция непрерывна в точке , причём . Тогда существует - окрестность этой точки такая, что для всех функция имеет тот же знак, что и .

Посмотрим, как это выглядит на рисунке

Y

x

2. Прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение.

ТЕОРЕМА 2 (1-я теорема Больцано – Коши). Пусть функция

непрерывна на отрезке и на концах

отрезка принимает значения разных знаков. Тогда

существует хотя бы одна точка , в которой

y

f(b)

0

a b x

f(a)

Теорема имеет простой геометрический смысл: непрерывная кривая при переходе из одной полуплоскости, границей кото- рой является ось , в другую пересекает эту ось.

ТЕОРЕМА 3 (2-я теорема Больцано – Коши) Пусть функция

непрерывна на отрезке , причём

. Пусть далее, - любое

число между и . Тогда существует точ –

ка , такая что

Другими словами, непрерывная функция при переходе от одного значения к другому принимает и все промежуточные значения.

СЛЕДСТВИЕ. Если функция определена на некотором промежутке , то множество её значений представляет аналогичный промежуток (т.е. интервал переходит в интервал, отрезок в отрезок и т.п.)

3.. Ограниченность непрерывной функции на отрезке.

Напомним, что функция называется ограниченной на отрезке , если существует число такое, что для всех выполняется неравенство или , т.е. график функции не выходит из полосы, ограниченной прямыми и

ТЕОРЕМА 4. (1-я теорема Вейерштрасса) Если функция

определена и непрерывна на отрезке

, то она ограничена этом отрезке.

В §1 были введены понятия точной верхней грани и точной нижней грани ( ) множества . В соответствии с этим, точной верхней гранью функции называется точная верхняя грань множества её значений и обознача -ется . Аналогично определяется точная нижняя грань функции - . В том случае, если точные грани функции являются значениями функции, то говорят, что функция достигает своих точных граней.

ТЕОРЕМА 5 (2-я теорема Вейерштрасса). Если функция

непрерывна на отрезке , то она

достигает на этом отрезке своих точных

верхней и нижней граней, т. е. существуют

точки , такие что

.

Замечание 1 Так как непрерывная функция достигает на отрезке своих точных верхней - и нижней -

Граней, то можно назвать точную верхнюю грань - максималь- ным значением, а точную нижнюю грань - минимальным зна -чением функции . Поэтому теорему 5 можно перефор -мулировать следующим образом : непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке максимальное и мини -мальное значение.

Разность между максимальным и минимальным значением непрерывной функции на отрезке называется колебанием непрерывной функции на этом отрезке и обозна –чается , где .