1. Биноминальный закон распределения.

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна р. Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины X- число появлений события А в этих испытаниях.

Формула Бернулли является аналитическим выражением искомого закона распределения.

Напишем биномиальный закон в виде таблицы:

X	n	n-1	. . .	k	. . .	0
Р	рп	прп-1q	. . .	Ckn рkqn-k	. . .	qn

Пример 1.3. Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины X — числа выпадений «герба».

Решение. Вероятность появления герба в каждом бросании монеты р=1/2, следовательно, вероятность не появления герба q=1 – 1/2=1/2.

При двух бросаниях монеты герб может появиться либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. Таким образом, возможные значения Х таковы: х₁ = 0, x₂=l, x₃ =2. Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли:

Р₂(0)= С⁰₂q²=(1/2)²=0,25,

Р₂(1)= С¹₂рq= =0,5,

Р₂(2)=С²₂ р²=(1/2)²=0,25.

Напишем искомый закон распределения:

X	0	1	2
P	0,25	0,5	0,25

Контроль: 0,25 + 0,5+0,25=1.

2. Распределение Пуассона.

Пусть случайная величина Х принимает только целые неотрицательные значения: 0,1,2,…к,…. Теоретически последовательность этих значений может быть бесконечной. Если вероятность события Х=к Р(Х=х_к)= определяется формулой

= (к=0,1,2,…; а>0),

то случайная величина Х распределена по закону Пуассона ( − параметр распределения).

Пример 1.4. В единицу времени в среднем наблюдается а отказов сложной аппаратуры. Найти вероятность того, что за время Т будет к отказов.

Решение. В среднем за время Т будет аТ отказов. По формуле Пуассона:

Р (Х=к) = е^-Та.

Если число испытаний велико, а вероятность события в одном испытании мала ( n>40, р<0,1), можно использовать формулу Пуассона.

Пример 1.5. Учебник издан тиражом 100 000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно пять бракованных книг.

Решение. По условию, n= 100 000, p= 0,0001 k= 5. События, состоящие в том, учебники сброшюрованы неправильно, независимы, число n велико, а вероятность p мала, поэтому воспользуемся распределением Пуассона

=

Найдем :

= 100 000 0,0001=10

Искомая вероятность

Задачи для самостоятельного решения

1. В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны четыре детали. Написать биномиальный закон распределения случайной величины Х − числа нестандартных деталей среди отобранных и построить многоугольник полученного распределения.

2. На батарее имеется три снаряда. Стрельба ведется до первого попадания или пока не будут израсходованы все снаряды. Вероятность попадания при одном выстреле 0,8. Написать закон распределения случайной величины Х − числа израсходованных снарядов.

3. Написать закон распределения случайной величины Х − числа появления «герба» при двух бросаниях монеты.

4.Две игральные кости одновременно бросают два раза. Написать биномиальный закон распределения случайной величины Х − числа выпадений четного числа очков на двух костях.

5. В партии из 10 деталей имеются 8 стандартны Наудачу отобраны две детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных.

6. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,002. Найти вероятность того , что за время Т откажут ровно три элемента.

Указание. Принять e =0,13534.

7. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей окажется ровно четыре бракованных.

8. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия во время пути равна 0,002. Найти вероятность того , что в пути будет повреждено изделий: а) ровно три; б) менее трех; в) более трех; г) хотя бы одно.

Ответы: 6. 0,18; 7. 0,09; 8. 0,224

Занятие 2. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Функция распределения дискретной случайной величины.

Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности..

М (X) = х₁ р₁ + х₂ р₂ + . . . + х_п р_п.

Пример 2.1. Найти математическое ожидание случайной величины X, зная закон ее распределения:

Х 2 3 5

р 0,3 0,1 0,6 .

Решение. Искомое математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности:

М(Х)= =3,9.

Рассмотрим свойства математического ожидания.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянно: М(С) = С.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М (СХ) = СМ (X).

Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

М (XY) = М(Х)М(Y).

Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

М (X+Y) = М(Х)+М(Y).

Если величина X распределена по биномиальному закону с параметрами пир, то математическое ожидание равно

М(Х)=пр

Пример 2.2. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия р=0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.

Решение. Попадание при каждом выстреле не зависит от исходов других выстрелов, поэтому рассматриваемые события независимы и, следовательно, искомое математическое ожидание

М(Х)= пр = = 6 (попаданий).

Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее математического ожидания служат дисперсия и среднее квадратическое отклонение..

Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданиям.

Приведем важное свойство отклонения.

Математическое ожидание отклонения равно нулю:

М [X - М(Х)]=0.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X)=M[Х-M(X)]².

Дисперсию удобно вычислять по формуле

D(X)=M(X²)-[M(X)]².

Пример 2.3. Найти дисперсию случайной величины X, которая задана следующим законом распределения:

Х	2	3	5
p	0,1	0,6	0,3

Решение. Найдем математическое ожидание М (X):

М (X) = .

Найдем математическое ожидание М (X²):

М (X²) = .

Искомая дисперсия

D(X)=M(X²)-[M(X)]²=13,3-(3,5)²=1,05.

Рассмотрим свойства дисперсии.

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю:

D(C)=0.

Это свойство объясняется тем, что постоянная величина сохраняет одно и то же значение и рассеяния не имеет.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D(СX)=С² D(X).

Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсией этих величин:

D(X+Y)= D(X)+D(Y).

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсией этих величин.

Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной равна дисперсии случайной величины:

Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсией:

D(X-Y)= D(X)+D(Y).

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии:

.

Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х, т.е.

F(x)=Р(Х<x).

Пример 2.4. Выписать функцию распределения для случайной величины, равной числу выпадений «герба» при бросании двух монет. Изобразить ее график

Решение. Построим ряд распределения (см. пример 1.3)

X	0	1	2
P	0,25	0,5	0,25

Напомним, что по определению F(x)=Р(Х < х). Пусть х < 0. Поскольку наша случайная величина не принимает значений, строго меньших нуля, для рассматриваемого х имеем F(x) = Р(Х < х) = 0. Пусть теперь 0 < х < 1. Для такого х имеем F(x) = Р(Х < х) = 0,25, поскольку X с вероятностью 0,25 может принять 0 . Пусть 1 < х < 2. Для такого х имеем F(x) = Р(Х < х) = .0,25 + 0,5 = 0,75, поскольку X с вероятностью 0,25 может принять значение 0 и с вероятностью 0,5 принять значение 1. Наконец, для х > 2 имеем F(Х) = Р(Х < х) = 1, поскольку с вероятностью 1 случайная величина X принимает одно из значений 0, 1 или 2, и все эти значения лежат в интервале ( ). Объединим полученные результаты в единую формулу

₁

_0,5

₁

0

₂

Рис .2.

График функции распределения дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид.