Задачи для самостоятельного решения

1. Задана плотность распределения вероятностей случайной величины Х

f(x)=

Найти значение параметра a и определить вероятность попадания случайной величины на интервал (3,4).

2. Задана плотность распределения вероятности случайной величины Х: f(x)= cos x при х [0, вне этого интервала плотность распределения вероятностей равна нулю. Найти функцию распределения.

3. Случайная величина Х задана в интервале (-2,2) плотностью вероятностей f(x)=1/4; вне этого интервала f(x)=0. Найти вероятность того, что в результате трех независимых испытаний случайная величина ровно два раза попадет в интервал (1,2).

Ответы: 1. a=3/64; p(3 x 4)=0,2969. 3. р=0,140025.

Занятие 4. Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Равномерное и нормальное распределения непрерывных случайных величин

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называют определенный интеграл

М(х)= .

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения. Если возможные значения Х принадлежат отрезку [a,b], то

= .

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и для величины дискретной

.

Пример 4.1. Случайная величина задана плотностью распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию.

f(x) =

Непрерывная случайная величина х имеет равномерное распределение на отрезке [a,b] , если плотность распределения на этом отрезке постоянна, а вне его равна нулю

f(x)=

Из условия =1 следует

=

Рис. 5

Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины на интервал (α,β) [a,b]:

Пример 4.2: Интервал движения автобуса №14 – 15 минут. Случайная величина Х – время ожидания автобуса. Найти вероятность того, что Х [9,12]

Решение. Найдем искомую вероятность

Р(9 <Х< 12) = .

Построим функцию распределения для закона равномерной плотности. Воспользуемся свойством: F(x)= .

Тогда: F(x)=

Математическое ожидание и дисперсия равномерного распределения

;

Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, если ее плотность вероятности имеет вид:

f(x)=

т .е. условие нормировки выполнено. Найдем математическое ожидание и дисперсию.

Рис. 6.

т. о., математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение у показательного распределения одинаково.

Пример 4.3. Случайная величина Т – время работы радиолампы имеет показательное распределение. Определить вероятность того, что время работы радиолампы будет не менее 1000 часов, если среднее время ее работы – 500 часов.

. , (t>0)

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

.

Здесь - математическое ожидание, - среднее квадратическое отклонение нормального распределения. Достаточно знать эти два параметра, чтобы задать нормальное распределение. График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса) (рис. 7, 8). Изменение величины параметра а (математического ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси Ох: вправо, если а возрастает, и влево, если а убывает (рис.7). С возрастанием максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т.е. сжимается к оси Ох; при убывании нормальная кривая становится более «островершинной» и растягивается в положит ельном направлении оси Оу (рис. 8).

Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу

Ф - Ф ,

где Ф(х) – функция Лапласа, значения которой приведены в таблице.

Пример 4.4. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (10, 50).

Решение. По условию, следовательно,

Ф - Ф =2Ф(2).

По таблице находим Ф(2)=0,4772. Отсюда, искомая вероятность