Задачи для самостоятельного решения

1. Двумерная случайная величина задана таблицей

Y	Х
	2	4	6
0,5	0,1	0,3	0,25
1,5	0,15	0,15	0,05

Найти законы распределения составляющих.

2. Задана функция распределения двумерной случайной величины

Найти двумерную плотность вероятностей системы.

Занятие 6. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции

В качестве числовых характеристик системы случайных величин выступают математические ожидания и дисперсии составляющих системы. Для системы используют корреляционный момент k_xy и безразмерную величину - коэффициент корреляции r_xy:

Зная плотности распределения составляющих X и Y

непрерывной двумерной случайной величины (X,Y), можно найти их математические ожидания и дисперсии

М[X]= М[Y]=

D[X]=

D[Y]=

,

r_xy = ,

где = и = - средние квадратические отклонения случайных величин X и Y.

Иногда удобнее использовать формулы

М[X]= М[Y]=

D[X]=

D[Y]=

.

Корреляционный момент характеризует рассеивание случайных величин X и Y. Если величины X и Y независимы, то корреляционный момент равен нулю. Обратное утверждение неверно, если , то система (X,Y) может быть зависимой. Это значит, что равенство нулю корреляционного момента является необходимым, но не достаточным условием независимости случайных величин.

Пример 6.1. Рассмотрим вновь двумерное распределение

Найти корреляционный момент.

Решение. Воспользуемся результатами, полученными в примере 5. Было показано, что , т.е. случайные величины X и Y - зависимые.

Чтобы найти корреляционный момент надо знать m_x и m_y

и , т.к. функции f_х(x) и f_у(y) - четные.

Получили, что корреляционный момент равен нулю, а случайные величины зависимые.

­ Пример 6.2. Плотность вероятности двумерной случайной величины (Х,Y) задана формулой

f(x,у)=

1. Найти параметр С.

2. Найти .

3. Вычислить: , , , ,

4. Выяснить, зависимы или нет Х, У.

1. Коэффициент С находим из условия

Отсюда С=3/2.

2. Применяем известные формулы

=

при x =0 при х записываем из условия равноправности вхождения переменных х, у в выражение для

при y =0 при y

3. Находим .

=

Аналогично =5/8.

Находим = . Предварительно найдем М[ ]и D_x:

М[ ]=

D_x= М[ ]- =

=

Найдем . Предварительно найдем М[ ]и

М[ ]=

5. Так как 0, то Х, Y зависимы.

Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислить математические ожидания составляющих системы двух случайных величин, заданной плотностью вероятностей:

f(x,у)=

2. Двумерная случайная величина задана таблицей

Y	Х
	2	4	6
0,5	0,1	0,3	0,25
1,5	0,15	0,15	0,05

Найти математические ожидания составляющих и корреляционный момент.

3. Задана двумерная плотность вероятностей системы случайных величин (Х,Y)

f(x,у)=

Найти математические ожидания и дисперсии составляющих и корреляционный момент.

4.Задана функция распределения двумерной случайной величины

Найти математические ожидания составляющих.

Ответы: 1. m_x=m_y=π/4. 2. m_x=4,1; m_y=0,85; =-0,235.

3. m_x=m_y=2/3, D(X)= D(Y)=1/18, =0. 4. m_x=m_y=(π-2)/4