Задачи для самостоятельного решения

1.Найти: 1) математическое ожидание; 2) дисперсию; 3) среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х по данному закону ее распределения

х	3	4	6	7	10
	0,4	0,1	0,2	0,1	0,2

2.Пусть дан ряд распределения случайной величины Х:

х	0	5	10	15
	0,064	0,288	0,432	0,216

Построить функцию распределения.

3. Случайная величина Х задана законом распределения

х	2	6	7	8
	0,1	0,15	0,25	0,5

Найти и построить функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию

4. Случайная величина Х задана законом распределения

х	-1	1	2	10
	0,2	0,3	0,3	0,2

Найти дисперсию

5. Дана функция распределения дискретной случайной величины

Построить по этой функции ряд распределения.

Ответы: 1. М(Х)= 5,5; D(X) =7,05; =2,655. 3. М(Х)= 3,25, D(X) =39,4875. 4. D(X) =14,41.

Занятие 3. Непрерывные случайные величины. Функция распределения. Плотность распределения вероятностей

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Непрерывную случайную величину можно задать с помощью функции распределения

F(x) = P( X< x )

Геометрически это равенство можно истолковать так: F(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Рассмотрим свойства функции распределения.

Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0,1]:

.

Свойство 2. F(x) – неубывающая функция, т.е.

, если .

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a,b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

.

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.

Свойство 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b),то 1) F(x)=0 при ;

2) F(x)=1 при _.

Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то справедливы следующие предельные соотношения:

F(x)=0; F(x)=1.

График функции распределения непрерывной случайной величины расположен в полосе, ограниченной прямыми у=0, у=1 и изображен на рис.3.

Непрерывную случайную величину можно задать, используя кроме функции распределения F(x), функцию, называемую плотностью распределения или плотностью вероятности.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x):

f(x)= .

Зная плотность распределения f(x), можно найти функцию распределения F(x) по формуле

F(x)= ,

Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b :

или

Геометрически полученный результат можно истолковать так: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, кривой распределения f(x) и прямыми x=a и x=b.

Плотность распределения обладает свойствами

Свойство 1. Плотность распределения – неотрицательная функция:

f(x) .

Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от до равен единице:

=1.

Геометрически это означает, что вся площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох и кривой распределения, равна единице.

В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b), то

=1.

Пример 3.1. Задана плотность распределения вероятности случайной величины Х

f(x)=

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0,5; 1).

Решение. Искомая вероятность

Пример 3.2. Найти функцию распределения по данной плотноcти распределения:

0 при ,

f(x)= 1/(b-a) при ,

0 при .

Воспользуемся формулой F(x)= . Если , f(x)=0, следовательно, F(x)=0. Если _, то f(x)= 1/(b-a), следовательно, F(x)= = = .

Если x>b, то F(x)= + + = .

Итак, искомая функция распределения

0 при ,

F (x)= (x-a)/(b-a) при ,

1 при .

Пример 3.3. Случайная величина Х подчинена закону распределения с плотностью f(x), причем

f(x)=

Требуется: 1) Найти коэффициент a; 2) построить график распределения плотности у= f(x); 3) найти вероятность попадания Х в промежуток (1,2).

Решение. 1) Так как все значения данной случайной величины заключены на отрезке[0,3], то , откуда

или т.е. a = 2/9.

2) Графиком функции f(x) в интервале [0,3] является парабола , а вне этого интервала графиком служит сама ось абсцисс (рис. 4).

3) Вероятность попадания

случайной величины Х в про-

м ежуток (1,2) найдется из ра-

венства