- •Вопросы к междисциплинарному государственному экзамену по математике
- •Раздел 1. Алгебра
- •2. Группы. Примеры групп. Подгруппы. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп.
- •3. Кольцо и поле. Простейшие свойства колец и полей. Примеры. Числовые поля. Подкольцо и идеал кольца.
- •4. Полукольцо натуральных чисел и кольцо целых чисел. Теорема о делении с остатком. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух чисел.
- •5. Поле комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа. Операции над комплексными числами в тригонометрической форме.
- •7. Матрицы и определители. Кольцо квадратных матриц n-го порядка. Определитель произведения матриц. Обратимые матрицы.
- •8. Система линейных уравнений. Равносильные системы линейных уравнений. Решение методом Гаусса. Однородные системы линейных уравнений. Подпространство решений однородной системы.
- •15. Алгебра высказываний, предикаты и их приложения.
- •16. Интуитивное понятие алгоритма. Уточнение понятия алгоритма в виде машины Тьюринга.
- •Раздел II. Геометрия
- •1. Скалярное произведение векторов, его свойства, вычисление и приложения к решению задач.
- •2. Векторное произведение векторов, его свойства, вычисление и приложения к решению задач.
- •3. Смешанное произведение векторов, его свойства, вычисление и приложения к решению задач.
- •14. Многочлены над полем рациональных чисел, их целые и рациональные корни. Приводимость и неприводимость многочленов над полем рациональных чисел. Алгебраические и трансцендентные числа.
- •4. Линии второго порядка. Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду.
- •5. Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости, двух прямых в пространстве.
- •6. Группа движений плоскости и ее подгруппы. Классификация движений плоскости. Приложение движений к решению задач.
- •7. Группа преобразований подобия плоскости и ее подгруппы. Приложение подобия к решению задач.
- •8. Группа аффинных преобразований плоскости и ее подгруппы. Приложение аффинных преобразований к решению задач.
- •9. Проективная плоскость и ее модели. Основные факты проективной геометрии и их приложение к решению задач.
- •10. Параллельное проектирование и его свойства. Изображение плоских и пространственных фигур в параллельной проекции.
- •11. Полные и неполные изображения. Позиционные задачи.
- •12. Метрически определенные изображения. Метрические задачи.
- •13. Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства и следствия из нее. Непротиворечивость аксиоматики Вейля трехмерного евклидова пространства.
- •14. Система аксиом планиметрии Лобачевского. Основные факты планиметрии Лобачевского. Непротиворечивость аксиоматики планиметрии Лобачевского.
- •15. Многоугольники. Площадь многоугольника. Теоремы существования и единственности. Равновеликость и равносоставленность многоугольников.
- •16. Поверхности в евклидовом пространстве. Первая квадратичная форма поверхности и ее приложения.
- •Раздел III. Математический анализ
- •1. Понятие мощности множества. Счётные множества и их свойства. Счётность множеств рациональных и алгебраических чисел. Несчётные множества.
- •2. Функция. Предел и непрерывность функции в точке. Основные свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •3. Существование верхней грани ограниченного сверху множества. Предел числовой последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности. Предел последовательности стягивающихся отрезков.
- •4. Показательная функция. Её основные свойства. Разложение в степенной ряд. Показательная функция в комплексной области. Формулы Эйлера.
- •6. Тригонометрические функции, их основные свойства. Разложение функций sin X и cos X в степенные ряды. Синус и косинус в комплексной области.
- •7. Определение и свойства степени. Степенная функция. Графики. Биномиальный ряд.
- •8. Дифференцируемые функции одной переменой. Геометрический и физический смысл производной. Правила и формулы дифференцирования. Дифференциал.
- •9. Теорема Лагранжа. Условия постоянства, монотонности и выпуклости графика функции на промежутке. Экстремумы и точки перегиба.
- •10. Первообразная функции и неопределенный интеграл. Интегрирование подстановкой и по частям. Таблица основных интегралов.
- •11. Определенный интеграл. Интегрируемость непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.
- •12. Понятие площади плоской фигуры. Вычисление площади плоской фигуры. Понятие объёма тела. Вычисление объёма тела вращения.
- •13. Спрямляемые кривые. Вычисление длины дуги. Нахождение площади поверхности вращения.
- •14. Лемма Больцано-Вейерштрасса. Необходимый и достаточный признаки сходимости последовательности. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов.
- •15. Числовые ряды. Признаки сходимости. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Функциональные последовательности и ряды. Свойства функциональных рядов, связанные с их равномерной сходимостью.
- •16. Производная функций комплексной переменной. Условия дифференцируемости. Понятие аналитической функции.
4. Линии второго порядка. Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду.
Дать определения, вывести канонические уравнения, сформулировать и доказать геометрические свойства эллипса, гиперболы и параболы. Уметь изображать эллипс, гиперболу и параболу по их каноническим уравнениям. Дать понятие о классификации линий второго порядка (знать 9 типов линий второго порядка и уметь записывать их канонические уравнения). Рассказать о приведении общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду с помощью поворота осей координат и переноса начала координат. Рассмотреть конкретный пример.
[1], §§ 27-30, § 38.
5. Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости, двух прямых в пространстве.
Знать различные уравнения плоскости и прямой в пространстве. Вывести условия совпадения, параллельности, пересечения двух плоскостей. Вывести условия принадлежности, параллельности, пересечения прямой и плоскости. Вывести условия совпадения, параллельности, пересечения и скрещиваемости двух прямых в пространстве. Рассмотреть конкретный пример определения взаимного расположения прямых, плоскостей или прямой и плоскости в пространстве.
6. Группа движений плоскости и ее подгруппы. Классификация движений плоскости. Приложение движений к решению задач.
Знать определения преобразования плоскости и композиции двух преобразований, группы, подгруппы; формулировку теоремы о подгруппе и теоремы о группе преобразований плоскости.
Дать определение движения. Сформулировать свойства движений. Дать определения параллельного переноса, осевой симметрии, поворота, центральной симметрии и скользящей симметрии. Доказать теорему о том, что множество всех движений плоскости образует группу. Основные инварианты группы движений. Перечислить подгруппы группы движений и их основные инварианты.
Знать аналитическое выражение движений. Провести классификацию движений плоскости по инвариантным точкам. Рассмотреть решение конкретной содержательной задачи с помощью параллельного переноса, поворота, центральной или осевой симметрии (на выбор).
7. Группа преобразований подобия плоскости и ее подгруппы. Приложение подобия к решению задач.
Дать определения преобразования подобия и гомотетии. Доказать теорему о разложении подобия в композицию гомотетии и движения. Сформулировать свойства гомотетии и подобия. Доказать теорему о том, что множество всех преобразований подобия плоскости образует группу. Рассмотреть подгруппы группы преобразований подобия плоскости. Рассмотреть решение конкретной содержательной задачи с помощью подобия (гомотетии).
8. Группа аффинных преобразований плоскости и ее подгруппы. Приложение аффинных преобразований к решению задач.
Дать определение аффинного преобразования плоскости. Сформулировать свойства аффинных преобразований. Частный случай аффинных преобразований − перспективно-аффинные преобразования, их виды. Доказать теорему о группе аффинных преобразований плоскости. Основной инвариант группы аффинных преобразований. Подгруппы группы аффинных преобразований плоскости. Рассмотреть решение конкретной задачи с помощью аффинного преобразования.