14. Система аксиом планиметрии Лобачевского. Основные факты планиметрии Лобачевского. Непротиворечивость аксиоматики планиметрии Лобачевского.

Дать обзор аксиоматики Гильберта. Дать понятие абсолютной геометрии. Рассказать, как получается система аксиом планиметрии Лобачевского из аксиоматики Гильберта.

Сформулировать теоремы, выражающие свойства треугольников на плоскости Лобачевского.

Сформулировать определение и свойства параллельных прямых по Лобачевскому, угла параллельности в данной точке относительно данной прямой. Сформулировать определение и признаки расходящихся прямых, теорему о существовании единственного общего перпендикуляра двух расходящихся прямых.

Знать, сколько существует на плоскости Лобачевского прямых, проходящих через данную точку и: а) параллельных данной прямой; б) расходящихся с данной прямой. Знать четыре случая взаимного расположения двух прямых на плоскости Лобачевского.

Одну теорему или свойство из сформулированных в данном вопросе доказать (на выбор)!

Дать определения модели, интерпретации системы аксиом, содержательной и внутренней непротиворечивости как обязательного требования к аксиоматике и указать способ их доказательства. Доказать непротиворечивость системы аксиом плоскости Лобачевского построением модели Кэли-Клейна или Пуанкаре.

15. Многоугольники. Площадь многоугольника. Теоремы существования и единственности. Равновеликость и равносоставленность многоугольников.

Определение ломаной, простой, замкнутой ломаной, простого многоугольника, ориентированного многоугольника. Понятие и свойства характеристики ориентированного многоугольника.

Определения измерения площадей (аксиоматическое) и площади многоугольника. Сформулировать и доказать теоремы существования и единственности измерения площадей.

Понятие равновеликих и равносоставленных многоугольников. Взаимосвязь между равновеликостью и равносоставленностью многоугольников.

16. Поверхности в евклидовом пространстве. Первая квадратичная форма поверхности и ее приложения.

Определение элементарной поверхности; поверхности; гладкой поверхности класса С (k - натуральное число). Задание поверхности.

Понятие о криволинейных координатах. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Первая квадратичная форма поверхности (определение, вычисление коэффициентов первой квадратичной формы). Приложения первой квадратичной формы поверхности (вычисление длины дуги гладкой линии на поверхности, угла между гладкими линиями на поверхности, площади гладкой компактной поверхности). Рассмотреть пример.

Раздел III. Математический анализ

1. Понятие мощности множества. Счётные множества и их свойства. Счётность множеств рациональных и алгебраических чисел. Несчётные множества.

Множества, эквивалентность множеств, их мощность. Счетные множества. Примеры счетных множеств. Счётность множества рациональных чисел, алгебраических чисел.

Несчётность множества действительных чисел на отрезке [0; 1]. Множества мощности континуум. Примеры множеств мощности континуум. Мощность континуум действительных чисел на промежутках.

Существование множеств любой мощности.