- •Вопросы к междисциплинарному государственному экзамену по математике
- •Раздел 1. Алгебра
- •2. Группы. Примеры групп. Подгруппы. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп.
- •3. Кольцо и поле. Простейшие свойства колец и полей. Примеры. Числовые поля. Подкольцо и идеал кольца.
- •4. Полукольцо натуральных чисел и кольцо целых чисел. Теорема о делении с остатком. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух чисел.
- •5. Поле комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа. Операции над комплексными числами в тригонометрической форме.
- •7. Матрицы и определители. Кольцо квадратных матриц n-го порядка. Определитель произведения матриц. Обратимые матрицы.
- •8. Система линейных уравнений. Равносильные системы линейных уравнений. Решение методом Гаусса. Однородные системы линейных уравнений. Подпространство решений однородной системы.
- •15. Алгебра высказываний, предикаты и их приложения.
- •16. Интуитивное понятие алгоритма. Уточнение понятия алгоритма в виде машины Тьюринга.
- •Раздел II. Геометрия
- •1. Скалярное произведение векторов, его свойства, вычисление и приложения к решению задач.
- •2. Векторное произведение векторов, его свойства, вычисление и приложения к решению задач.
- •3. Смешанное произведение векторов, его свойства, вычисление и приложения к решению задач.
- •14. Многочлены над полем рациональных чисел, их целые и рациональные корни. Приводимость и неприводимость многочленов над полем рациональных чисел. Алгебраические и трансцендентные числа.
- •4. Линии второго порядка. Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду.
- •5. Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости, двух прямых в пространстве.
- •6. Группа движений плоскости и ее подгруппы. Классификация движений плоскости. Приложение движений к решению задач.
- •7. Группа преобразований подобия плоскости и ее подгруппы. Приложение подобия к решению задач.
- •8. Группа аффинных преобразований плоскости и ее подгруппы. Приложение аффинных преобразований к решению задач.
- •9. Проективная плоскость и ее модели. Основные факты проективной геометрии и их приложение к решению задач.
- •10. Параллельное проектирование и его свойства. Изображение плоских и пространственных фигур в параллельной проекции.
- •11. Полные и неполные изображения. Позиционные задачи.
- •12. Метрически определенные изображения. Метрические задачи.
- •13. Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства и следствия из нее. Непротиворечивость аксиоматики Вейля трехмерного евклидова пространства.
- •14. Система аксиом планиметрии Лобачевского. Основные факты планиметрии Лобачевского. Непротиворечивость аксиоматики планиметрии Лобачевского.
- •15. Многоугольники. Площадь многоугольника. Теоремы существования и единственности. Равновеликость и равносоставленность многоугольников.
- •16. Поверхности в евклидовом пространстве. Первая квадратичная форма поверхности и ее приложения.
- •Раздел III. Математический анализ
- •1. Понятие мощности множества. Счётные множества и их свойства. Счётность множеств рациональных и алгебраических чисел. Несчётные множества.
- •2. Функция. Предел и непрерывность функции в точке. Основные свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •3. Существование верхней грани ограниченного сверху множества. Предел числовой последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности. Предел последовательности стягивающихся отрезков.
- •4. Показательная функция. Её основные свойства. Разложение в степенной ряд. Показательная функция в комплексной области. Формулы Эйлера.
- •6. Тригонометрические функции, их основные свойства. Разложение функций sin X и cos X в степенные ряды. Синус и косинус в комплексной области.
- •7. Определение и свойства степени. Степенная функция. Графики. Биномиальный ряд.
- •8. Дифференцируемые функции одной переменой. Геометрический и физический смысл производной. Правила и формулы дифференцирования. Дифференциал.
- •9. Теорема Лагранжа. Условия постоянства, монотонности и выпуклости графика функции на промежутке. Экстремумы и точки перегиба.
- •10. Первообразная функции и неопределенный интеграл. Интегрирование подстановкой и по частям. Таблица основных интегралов.
- •11. Определенный интеграл. Интегрируемость непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.
- •12. Понятие площади плоской фигуры. Вычисление площади плоской фигуры. Понятие объёма тела. Вычисление объёма тела вращения.
- •13. Спрямляемые кривые. Вычисление длины дуги. Нахождение площади поверхности вращения.
- •14. Лемма Больцано-Вейерштрасса. Необходимый и достаточный признаки сходимости последовательности. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов.
- •15. Числовые ряды. Признаки сходимости. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Функциональные последовательности и ряды. Свойства функциональных рядов, связанные с их равномерной сходимостью.
- •16. Производная функций комплексной переменной. Условия дифференцируемости. Понятие аналитической функции.
7. Определение и свойства степени. Степенная функция. Графики. Биномиальный ряд.
Степенная функция с целым показателем. Корень с натуральным показателем. Степенная функция с дробным показателем. Понятие функции с иррациональным показателем. Непрерывность. Свойства степенной функции при разных показателях и ее графики.
Разложение в степенной ряд бинома. Применение биномиального ряда в приближенных вычислениях.
8. Дифференцируемые функции одной переменой. Геометрический и физический смысл производной. Правила и формулы дифференцирования. Дифференциал.
Понятия производной и дифференцируемой функции. Связь между понятиями производной функции, ее дифференцируемостью и непрерывностью. Геометрический и механический смысл производной. Касательная и нормаль к графику функции.
Правила и формулы дифференцирования. Теоремы о производной сложной и обратной функций. Логарифмическое дифференцирование.
Дифференциал как главная, линейная часть приращения функции, его геометрический и механический смысл.
9. Теорема Лагранжа. Условия постоянства, монотонности и выпуклости графика функции на промежутке. Экстремумы и точки перегиба.
Теорема Лагранжа. Применение теоремы Лагранжа к исследованию функций на монотонность (теорема о достаточных условиях постоянства и монотонности функции).
Понятие экстремума функции. Необходимые и достаточные условия существования экстремума. Правила исследования функций на экстремум с помощью первой и второй производных.
Понятие выпуклости и вогнутости графика функции. Теорема об определении выпуклости (вогнутости) графика функции в точке. Точки перегиба и их нахождение. Правило нахождения промежутков выпуклости и вогнутости графика функции.
10. Первообразная функции и неопределенный интеграл. Интегрирование подстановкой и по частям. Таблица основных интегралов.
Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенных интегралов. Таблица основных интегралов. Интегрирование по частям. Замена переменной.
Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических функций. Интегрирование некоторых простейших иррациональных функций с помощью рационализации. Примеры интегралов, не выражающихся через элементарные функции.
11. Определенный интеграл. Интегрируемость непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.
Понятие определенного интеграла как предела интегральных сумм. Основные свойства определенного интеграла. Верхняя и нижняя суммы Дарбу. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции. Интегрируемость класса непрерывных функций. Интегрируемость класса монотонных функций.
Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле.
12. Понятие площади плоской фигуры. Вычисление площади плоской фигуры. Понятие объёма тела. Вычисление объёма тела вращения.
Понятие квадрируемой фигуры и ее площади. Площадь криволинейной трапеции. Площадь произвольной плоской фигуры, границы которой заданы графиками функций в декартовых координатах. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной в параметрической форме. Площадь криволинейного сектора.
Понятие кубируемого тела и его объёма. Нахождение объёма тела по площадям его поперечных сечений. Объём тела вращения.