- •Вопросы к междисциплинарному государственному экзамену по математике
- •Раздел 1. Алгебра
- •2. Группы. Примеры групп. Подгруппы. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп.
- •3. Кольцо и поле. Простейшие свойства колец и полей. Примеры. Числовые поля. Подкольцо и идеал кольца.
- •4. Полукольцо натуральных чисел и кольцо целых чисел. Теорема о делении с остатком. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух чисел.
- •5. Поле комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа. Операции над комплексными числами в тригонометрической форме.
- •7. Матрицы и определители. Кольцо квадратных матриц n-го порядка. Определитель произведения матриц. Обратимые матрицы.
- •8. Система линейных уравнений. Равносильные системы линейных уравнений. Решение методом Гаусса. Однородные системы линейных уравнений. Подпространство решений однородной системы.
- •15. Алгебра высказываний, предикаты и их приложения.
- •16. Интуитивное понятие алгоритма. Уточнение понятия алгоритма в виде машины Тьюринга.
- •Раздел II. Геометрия
- •1. Скалярное произведение векторов, его свойства, вычисление и приложения к решению задач.
- •2. Векторное произведение векторов, его свойства, вычисление и приложения к решению задач.
- •3. Смешанное произведение векторов, его свойства, вычисление и приложения к решению задач.
- •14. Многочлены над полем рациональных чисел, их целые и рациональные корни. Приводимость и неприводимость многочленов над полем рациональных чисел. Алгебраические и трансцендентные числа.
- •4. Линии второго порядка. Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду.
- •5. Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости, двух прямых в пространстве.
- •6. Группа движений плоскости и ее подгруппы. Классификация движений плоскости. Приложение движений к решению задач.
- •7. Группа преобразований подобия плоскости и ее подгруппы. Приложение подобия к решению задач.
- •8. Группа аффинных преобразований плоскости и ее подгруппы. Приложение аффинных преобразований к решению задач.
- •9. Проективная плоскость и ее модели. Основные факты проективной геометрии и их приложение к решению задач.
- •10. Параллельное проектирование и его свойства. Изображение плоских и пространственных фигур в параллельной проекции.
- •11. Полные и неполные изображения. Позиционные задачи.
- •12. Метрически определенные изображения. Метрические задачи.
- •13. Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства и следствия из нее. Непротиворечивость аксиоматики Вейля трехмерного евклидова пространства.
- •14. Система аксиом планиметрии Лобачевского. Основные факты планиметрии Лобачевского. Непротиворечивость аксиоматики планиметрии Лобачевского.
- •15. Многоугольники. Площадь многоугольника. Теоремы существования и единственности. Равновеликость и равносоставленность многоугольников.
- •16. Поверхности в евклидовом пространстве. Первая квадратичная форма поверхности и ее приложения.
- •Раздел III. Математический анализ
- •1. Понятие мощности множества. Счётные множества и их свойства. Счётность множеств рациональных и алгебраических чисел. Несчётные множества.
- •2. Функция. Предел и непрерывность функции в точке. Основные свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •3. Существование верхней грани ограниченного сверху множества. Предел числовой последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности. Предел последовательности стягивающихся отрезков.
- •4. Показательная функция. Её основные свойства. Разложение в степенной ряд. Показательная функция в комплексной области. Формулы Эйлера.
- •6. Тригонометрические функции, их основные свойства. Разложение функций sin X и cos X в степенные ряды. Синус и косинус в комплексной области.
- •7. Определение и свойства степени. Степенная функция. Графики. Биномиальный ряд.
- •8. Дифференцируемые функции одной переменой. Геометрический и физический смысл производной. Правила и формулы дифференцирования. Дифференциал.
- •9. Теорема Лагранжа. Условия постоянства, монотонности и выпуклости графика функции на промежутке. Экстремумы и точки перегиба.
- •10. Первообразная функции и неопределенный интеграл. Интегрирование подстановкой и по частям. Таблица основных интегралов.
- •11. Определенный интеграл. Интегрируемость непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.
- •12. Понятие площади плоской фигуры. Вычисление площади плоской фигуры. Понятие объёма тела. Вычисление объёма тела вращения.
- •13. Спрямляемые кривые. Вычисление длины дуги. Нахождение площади поверхности вращения.
- •14. Лемма Больцано-Вейерштрасса. Необходимый и достаточный признаки сходимости последовательности. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов.
- •15. Числовые ряды. Признаки сходимости. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Функциональные последовательности и ряды. Свойства функциональных рядов, связанные с их равномерной сходимостью.
- •16. Производная функций комплексной переменной. Условия дифференцируемости. Понятие аналитической функции.
9. Проективная плоскость и ее модели. Основные факты проективной геометрии и их приложение к решению задач.
Дать определения проективной плоскости (аксиоматическое), интерпретации данной системы аксиом, модели. Рассмотреть различные модели проективной плоскости. Сформулировать принцип двойственности на проективной плоскости. Сформулировать и доказать теорему Дезарга. Сформулировать и доказать обратную теорему.
Сформулировать определения сложного отношения четырех точек прямой и четырех прямых пучка; гармонической четверки точек и прямых; полного четырехвершинника и его элементов. Свойства полного четырехвершинника. Сформулировать теоремы Паскаля и Брианшона и обратные теоремы.
Рассмотреть приложение теорем Дезарга, Паскаля, Брианшона или свойств полного четырехвершинника (на выбор) к решению задач.
10. Параллельное проектирование и его свойства. Изображение плоских и пространственных фигур в параллельной проекции.
Дать определения параллельной проекции точки, фигуры; параллельного проектирования одной плоскости на другую. Свойства параллельного проектирования. Понятие ортогонального проектирования.
Определение изображения фигуры. Требования, предъявляемые к изображениям. Сформулировать и доказать теорему об изображениях плоских фигур в параллельной проекции. Рассмотреть применение этой теоремы к построению изображений плоских фигур (треугольника, параллелограмма, трапеции, четырехугольника, n-угольника (n > 4), окружности).
Сформулировать теорему Польке-Шварца. Рассмотреть построение изображений пространственных фигур (тетраэдра, пирамиды, параллелепипеда, призмы, цилиндра, конуса). Изображение шара.
11. Полные и неполные изображения. Позиционные задачи.
Дать понятие заданных элементов изображения (точки, прямой, плоскости), полного и неполного изображения. Доказать, что изображение плоской фигуры, призмы, пирамиды, цилиндра, конуса является полным. Привести примеры неполных изображений.
Дать определение позиционной задачи. Сформулировать критерий однозначной разрешимости позиционной задачи. Рассмотреть пример позиционной задачи с решением (например, построение линии пересечения двух плоскостей).
Задачи на построение сечений многогранников и основные методы их решения (метод внутреннего проектирования и метод следов). Рассмотреть пример.
12. Метрически определенные изображения. Метрические задачи.
Дать определения декартова репера, метрической задачи, метрически определенного изображения плоской и пространственной фигуры. Привести примеры метрически определенных изображений и изображений, не являющихся метрически определенными.
Сформулировать критерий однозначной разрешимости метрической задачи. Основные методы решения метрических задач (метод учета метрических и проекционных свойств оригинала и метод эффективного использования оригинала). Рассмотреть примеры решения метрической задачи на плоскости и в пространстве.
13. Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства и следствия из нее. Непротиворечивость аксиоматики Вейля трехмерного евклидова пространства.
Указать основные (неопределяемые) понятия и отношения аксиоматики Вейля. Сформулировать аксиомы пяти групп. Знать, что аксиомы первых трех групп составляют аксиоматику аффинного, а первых четырех − аксиоматику евклидова векторных пространств. Дать определения некоторых геометрических понятий в аксиоматике Вейля, сформулировать и доказать по выбору основные следствия из каждой группы аксиом.
Знать определения модели, интерпретации системы аксиом, содержательной и внутренней непротиворечивости как обязательного требования к аксиоматике и указать способ их доказательства. Построив арифметическую модель аксиоматики Вейля трехмерного евклидова пространства, доказать, что аксиоматика Вейля внутренне непротиворечива, если внутренне непротиворечива арифметика действительных чисел.