- •Вопросы к междисциплинарному государственному экзамену по математике
- •Раздел 1. Алгебра
- •2. Группы. Примеры групп. Подгруппы. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп.
- •3. Кольцо и поле. Простейшие свойства колец и полей. Примеры. Числовые поля. Подкольцо и идеал кольца.
- •4. Полукольцо натуральных чисел и кольцо целых чисел. Теорема о делении с остатком. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух чисел.
- •5. Поле комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа. Операции над комплексными числами в тригонометрической форме.
- •7. Матрицы и определители. Кольцо квадратных матриц n-го порядка. Определитель произведения матриц. Обратимые матрицы.
- •8. Система линейных уравнений. Равносильные системы линейных уравнений. Решение методом Гаусса. Однородные системы линейных уравнений. Подпространство решений однородной системы.
- •15. Алгебра высказываний, предикаты и их приложения.
- •16. Интуитивное понятие алгоритма. Уточнение понятия алгоритма в виде машины Тьюринга.
- •Раздел II. Геометрия
- •1. Скалярное произведение векторов, его свойства, вычисление и приложения к решению задач.
- •2. Векторное произведение векторов, его свойства, вычисление и приложения к решению задач.
- •3. Смешанное произведение векторов, его свойства, вычисление и приложения к решению задач.
- •14. Многочлены над полем рациональных чисел, их целые и рациональные корни. Приводимость и неприводимость многочленов над полем рациональных чисел. Алгебраические и трансцендентные числа.
- •4. Линии второго порядка. Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду.
- •5. Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости, двух прямых в пространстве.
- •6. Группа движений плоскости и ее подгруппы. Классификация движений плоскости. Приложение движений к решению задач.
- •7. Группа преобразований подобия плоскости и ее подгруппы. Приложение подобия к решению задач.
- •8. Группа аффинных преобразований плоскости и ее подгруппы. Приложение аффинных преобразований к решению задач.
- •9. Проективная плоскость и ее модели. Основные факты проективной геометрии и их приложение к решению задач.
- •10. Параллельное проектирование и его свойства. Изображение плоских и пространственных фигур в параллельной проекции.
- •11. Полные и неполные изображения. Позиционные задачи.
- •12. Метрически определенные изображения. Метрические задачи.
- •13. Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства и следствия из нее. Непротиворечивость аксиоматики Вейля трехмерного евклидова пространства.
- •14. Система аксиом планиметрии Лобачевского. Основные факты планиметрии Лобачевского. Непротиворечивость аксиоматики планиметрии Лобачевского.
- •15. Многоугольники. Площадь многоугольника. Теоремы существования и единственности. Равновеликость и равносоставленность многоугольников.
- •16. Поверхности в евклидовом пространстве. Первая квадратичная форма поверхности и ее приложения.
- •Раздел III. Математический анализ
- •1. Понятие мощности множества. Счётные множества и их свойства. Счётность множеств рациональных и алгебраических чисел. Несчётные множества.
- •2. Функция. Предел и непрерывность функции в точке. Основные свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •3. Существование верхней грани ограниченного сверху множества. Предел числовой последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности. Предел последовательности стягивающихся отрезков.
- •4. Показательная функция. Её основные свойства. Разложение в степенной ряд. Показательная функция в комплексной области. Формулы Эйлера.
- •6. Тригонометрические функции, их основные свойства. Разложение функций sin X и cos X в степенные ряды. Синус и косинус в комплексной области.
- •7. Определение и свойства степени. Степенная функция. Графики. Биномиальный ряд.
- •8. Дифференцируемые функции одной переменой. Геометрический и физический смысл производной. Правила и формулы дифференцирования. Дифференциал.
- •9. Теорема Лагранжа. Условия постоянства, монотонности и выпуклости графика функции на промежутке. Экстремумы и точки перегиба.
- •10. Первообразная функции и неопределенный интеграл. Интегрирование подстановкой и по частям. Таблица основных интегралов.
- •11. Определенный интеграл. Интегрируемость непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.
- •12. Понятие площади плоской фигуры. Вычисление площади плоской фигуры. Понятие объёма тела. Вычисление объёма тела вращения.
- •13. Спрямляемые кривые. Вычисление длины дуги. Нахождение площади поверхности вращения.
- •14. Лемма Больцано-Вейерштрасса. Необходимый и достаточный признаки сходимости последовательности. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов.
- •15. Числовые ряды. Признаки сходимости. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Функциональные последовательности и ряды. Свойства функциональных рядов, связанные с их равномерной сходимостью.
- •16. Производная функций комплексной переменной. Условия дифференцируемости. Понятие аналитической функции.
13. Спрямляемые кривые. Вычисление длины дуги. Нахождение площади поверхности вращения.
Понятие спрямляемой дуги кривой и ее длины. Достаточные условия спрямляемости дуги. Дифференциал дуги. Длина дуги кривой, заданной в декартовых координатах. Длина дуги кривой, заданной в параметрической форме. Длина дуги кривой в полярных координатах.
Площадь поверхности вращения.
14. Лемма Больцано-Вейерштрасса. Необходимый и достаточный признаки сходимости последовательности. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов.
Последовательность и ее подпоследовательность. Ограниченные последовательности. Лемма Больцано-Вейерштрасса. Применение леммы в доказательстве теоремы Кантора.
Понятие фундаментальной последовательности. Критерий Коши для числовых последовательностей и числовых рядов.
Понятие равномерной сходимости функциональных последовательностей и функциональных рядов. Признак Вейершрасса равномерной сходимости функциональных рядов.
15. Числовые ряды. Признаки сходимости. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Функциональные последовательности и ряды. Свойства функциональных рядов, связанные с их равномерной сходимостью.
Основные понятия. Геометрическая прогрессия и гармонический ряд. Признаки сравнения. Признаки Коши и Даламбера. Интегральный признак.
Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Теоремы о непрерывности функционального ряда, его интегрировании и дифференцировании.
16. Производная функций комплексной переменной. Условия дифференцируемости. Понятие аналитической функции.
Понятие функции комплексной переменной. Предел, непрерывность и дифференцируемость. Условия Коши-Римана. Понятие аналитической функции. Понятие гармонической функции. Действительная и мнимая части аналитической функции. Понятие конформного отображения.
Понятие аналитического продолжения. Элементарные функции на комплексной плоскости, как аналитическое продолжение известных функций, определенных на R.