Кореляційні залежності
Залежності між двома величинами, кожна з яких піддається випадковому розсіюванню (неконтрольованому розкидові), вивчають методами кореляційного аналізу. Кореляційний аналіз вивчає усереднений закон поведінки кожної величини в залежності від значень іншої, а також міру залежності між ними.
Загальна формула для розрахунку емпіричного коефіцієнту кореляції між величинами xi та уi має наступний вигляд:
(12.43)
Зазвичай для спрощення σх та σу розраховують за формулами:
(12.44)
Якщо r<0,25, між уi та xі, то зв'язку між величинами нема. При r=0,25...0,5 між величинами існує дуже слабкий зв'язок, яким можна зневажити, тобто можна вважати, що його практично не існує. Якщо r=0,5....0,7, можна зробити висновок, що між уі та xі існує невеликий зв'язок. При r не менш 0,7 зв'язок вважається добрим, а рівняння регресії досить надійно виражає вплив аргументуй на функцію. Чим ближче |r| до 1, тим тісніше зв'язок між величинами уі та xі. .Якщо r приймає додатне значення, характери уі та xі співпадають, при від'ємних значеннях r залежність носить зворотній характер.
Ймовірну похибку коефіцієнта кореляції обчислюють за формулою (12.45). Значення ρ залежить від числа визначень п.
(12.45)
У таблиці 12.5 наведено приклад розрахунку коефіцієнту кореляції між абсолютною вологістю W виростка шкіри для одягу хромового дублення з казеїновим покриттям та температурою фазового переходу Т (відповідно х та у).
За отриманими даними розраховуємо коефіцієнт кореляції та ймовірну похибку:
Таблиця 12.5
W, % (х) |
Т, К (у) |
х- |
y- |
(x – )2 |
(у- )2 |
(x – )2 (у- )2 |
4 |
148 |
-46 |
-60 |
2116 |
3600 |
2760 |
20 |
168 |
-30 |
-40 |
900 |
1600 |
1200 |
40 |
198 |
-10 |
-10 |
100 |
100 |
100 |
60 |
216 |
+10 |
+8 |
100 |
64 |
80 |
80 |
251 |
+30 |
+43 |
900 |
1849 |
1290 |
100 |
268 |
+50 |
|
2500 |
3600 |
3000 |
=50 |
=208 |
Σ=4 |
Σ =-3 |
Σ =6616 |
Σ = 10813 |
Σ = 8430 |
На основі отриманих даних можна зробити висновок про високий ступень кореляції між абсолютною вологістю шкіри та температурою фазового переходу.
ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ
Для чого необхідно проводити математичну обробку результатів вимірювань?
Які бувають похибки вимірювань?
Що характеризує закон нормального розподілу?
Які існують статистичні методи встановлення емпіричних залежностей?
Додаток А
Інтеграл Ймовірності
t |
Соті частки t |
|||||||||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0.0 |
0,0000 |
0040 |
0080 |
0120 |
0160 |
0199 |
0239 |
0279 |
0319 |
1359 |
0,1 |
0398 |
0438 |
0478 |
0517 |
0557 |
0590 |
0636 |
0675 |
0714 |
0753 |
0,2 |
0793 |
0832 |
0871 |
0910 |
1948 |
0987 |
1026 |
1064 |
ПОЗ |
1141 |
0,3 |
1179 |
1217 |
1255 |
1293 |
1331 |
1368 |
1406 |
1443 |
1480 |
1517 |
0,4 |
1554 |
1591 |
1628 |
1664 |
1700 |
1736 |
1772 |
1808 |
1844 |
1879 |
0,5 |
1915 |
1950 |
1985 |
2019 |
2054 |
2088 |
2123 |
2157 |
2190 |
2224 |
0,6 |
2257 |
2291 |
2324 |
2357 |
1389 |
2422 |
2454 |
2186 |
2517 |
2549 |
0,7 |
2580 |
2611 |
2642 |
2673 |
2703 |
2734 |
2764 |
2794 |
2823 |
2852 |
0,8 |
2881 |
2910 |
2939 |
2967 |
2995 |
3023 |
3051 |
3078 |
3106 |
3133 |
0,9 |
3159 |
3186 |
3212 |
3238 |
3264 |
3289 |
3215 |
3340 |
3365 |
3389 |
1,0 |
3413 |
3437 |
3461 |
3484 |
3508 |
3531 |
3554 |
3577 |
3599 |
3621 |
1,1 |
3643 |
3665 |
3686 |
3708 |
3729 |
3749 |
3770 |
3790 |
3810 |
3830 |
1,2 |
3849 |
3869 |
3888 |
3907 |
3925 |
3944 |
3962 |
3980 |
3997 |
4015 |
1,3 |
4032 |
4049 |
4066 |
4082 |
4099 |
4115 |
4131 |
4147 |
4162 |
4177 |
1,4 |
4192 |
4207 |
4222 |
4236 |
4251 |
4265 |
4279 |
4292 |
4306 |
4319 |
1,5 |
4332 |
4345 |
4357 |
4370 |
4382 |
4394 |
4406 |
4418 |
4429 |
4441 |
1,6 |
4452 |
4463 |
4474 |
4484 |
4495 |
4505 |
4515 |
4525 |
4535 |
4545 |
1,7 |
4554 |
4564 |
4573 |
4582 |
4591 |
4599 |
4608 |
4616 |
4625 |
4633 |
1,8 |
4641 |
4649 |
4656 |
4664 |
4671 |
4678 |
4686 |
4693 |
4699 |
4706 |
1,9 |
4713 |
4719 |
4726 |
4732 |
4738 |
4744 |
4750 |
4756 |
4761 |
4767 |
2,0 |
4772 |
4778 |
4783 |
4788 |
4793 |
4798 |
4803 |
4808 |
4812 |
4817 |
2,1 |
482! |
4826 |
4830 |
4834 |
4838 |
4842 |
4846 |
4850 |
4854 |
4857 |
2,2 |
4861 |
4864 |
4868 |
4871 |
4875 |
4878 |
4881 |
4884 |
4887 |
4890 |
2,3 |
4893 |
4896 |
4898 |
4901 |
4904 |
4906 |
4$09 |
4911 |
4913 |
4916 |
2,4 |
4918 |
4920 |
4922 |
4925 |
4927 |
4929 |
4931 |
4932 |
4934 |
4936 |
Додаток Б
Величини, що
пов’язані з інтервалом ймовірності
функція
t = t(p)
є оберненою до
t |
Ф(t) |
1-2Ф(t) |
1 – р |
t=t(p) |
p |
2,5 |
0,49379 |
0,01242 |
0,05 |
1,960 |
0,95 |
2,6 |
0,49534 |
0,00932 |
0,04 |
2,054 |
0,96 |
2,7 |
0,4965.1 |
0,00693 |
0,03 |
2,170 |
0,97 |
2,8 |
0,49744 |
0,00511 |
0,02 |
2,326 |
0,98 |
2,9 |
0,49813 |
0,00373 |
0,01 |
2,576 |
0,99 |
3,0 |
0,49865 |
0,00270 |
0,009 |
2,612 |
0,991 |
3,1 |
0,49903 |
0,00194 |
0,008 |
2,652 |
0,992 |
3,2 |
0,49931 |
0,00137 |
0,007 |
2,697 |
0,993 |
33 |
0,49952 |
0,00097 |
0,006 |
2,748 |
0,994 |
3,4 |
0,49966 |
0,00067 |
0,005 |
2,807 |
0,995 |
3,5 |
0,499757 |
0,000465 |
0,004 |
2,878 |
0,996 |
3,6 |
0,499841 |
0,000318 |
0,003 |
2,968 |
0,997 |
3,7 |
0,499892 |
0,000216 |
0,002 |
3,090 |
0,998 |
3,8 |
0,499927 |
0,000145 |
0,001 |
3,291 |
0,999 |
3,9 |
0,499952 |
0,000096 |
0,0009 |
3,320 |
0,9991 |
4,0 |
0,499968 |
0,000063 |
0,0008 |
3,353 |
0,9992 |
4,1 |
0,499979 |
0,000041 |
0,0007 |
3,390 |
0,9993 |
4,2 |
0,4999987 |
0,000027 |
0,0006 |
3,432 |
0,9994 |
43 |
0,4999991 |
0.000017 |
0,0005 |
3,481 |
0,9995 |
4,4 |
0,4999995 |
0,000011 |
0,0004 |
3,540 |
0,9996 |
4,5 |
0,49999966 |
0,0000068 |
0,0003 |
3,615 |
0,9997 |
4,6 |
0,49999979 |
0,0000041 |
0,0002 |
3,720 |
0,9998 |
4,7 |
0,49999987 |
0,0000025 |
6,0001 |
3,891 |
0,9999 |
4,8 |
0,49999992 |
0,0000016 |
0,00001 |
4,417 |
0,00001 |
4,9 |
0,49999995 |
0,0000009 |
0,000001 |
4,892 |
0,000001 |
5,0 |
0,49999997 |
0,0000006 |
0,0000001 |
5,327 |
0,0000001 |
Додаток В
Критичні значення tn(p) для оцінювання значень результатів вимірювань, які «випадають» (n - число прийнятих результатів, p - надійність виводу)
n |
p |
n |
p |
||||||
0,95 |
0,98 |
0,99 |
0,999 |
0,95 |
0,98 |
0,99 |
0,999 |
||
5 |
3,04 |
4,11 |
5,04 |
9,43 |
20 |
2,145 |
2,602 |
2,932 |
3,979 |
6 |
2,78 |
3,64 |
4,36 |
7,41 |
25 |
2,105 |
2,541 |
2,852 |
3,819 |
7 |
2,62 |
3,36 |
3,96 |
6,37 |
30 |
2,079 |
2,503 |
2,802 |
3,719 |
8 |
2,51 |
3,18 |
3,71 |
5,73 |
35 |
2,061 |
2,476 |
2,768 |
3,652 |
9 |
2,43 |
3,05 |
3,54 |
5,31 |
40 |
2,048 |
2,456 |
2,742 |
3,602 |
10 |
2,37 |
2,96 |
3,41 |
5,01 |
45 |
2,038 |
2,441 |
2,722 |
3,565 |
11 |
2,33 |
2,89 |
3,31 |
4,79 |
50 |
2,030 |
2,429 |
2,707 |
3,532 |
12 |
2,29 |
2,83 |
3,23 |
4,62 |
60 |
2,018 |
2,411 |
2,683 |
3,492 |
13 |
2,26 |
2,78 |
3,17 |
4,48 |
70 |
2,009 |
2,399 |
2,667 |
3,462 |
14 |
2,24 |
2,74 |
3,12 |
4,37 |
80 |
2,003 |
2,389 |
2,655 |
3,439 |
15 |
2,22 |
2,71 |
3,08 |
4,28 |
90 |
1,998 |
2,382 |
2,646 |
3,423 |
16 |
2,20 |
2,68 |
3,04 |
4,20 |
100 |
1,994 |
2,377 |
2,639 |
3,409 |
17 |
2,18 |
2,66 |
3,01 |
4,13 |
|
1,960 |
2,326 |
2,576 |
3,291 |
18 |
2,17 |
2,64 |
2,98 |
4,07 |
|
|
|
|
|
Додаток Г
Розподіл Стьюдента [Значення t = t(p;k)]
k |
p |
||||
0,9 |
0,95 |
0,98 |
0,99 |
0,999 |
|
4 |
2,132 |
2,776 |
3,747 |
4,604 |
8,610 |
5 |
2,015 |
2,571 |
3,365 |
4,032 |
6,859 |
6 |
1,943 |
2,447 |
3,143 |
3,707 |
5,959 |
7 |
1,895 |
2,365 |
2,998 |
3,499 |
5,405 |
8 |
1,860 |
2,306 |
2,896 |
3,355 |
5,041 |
9 |
1,833 |
2,262 |
2,821 |
3,250 |
4,781 |
10 |
1,812 |
2,228 |
2,764 |
3,169 |
4,587 |
11 |
1,797 |
2,201 |
2,718 |
3,106 |
4,487 |
12 |
1,782 |
2,179 |
2,681 |
3,055 |
4,318 |
13 |
1,771 |
2,160 |
2,650 |
3,012 |
4,221 |
14 |
1,761 |
2,145 |
2,624 |
2,977 |
4,140 |
15 |
1,753 |
2,131 |
2,602 |
2,947 |
4,073 |
16 |
1,746 |
2,120 |
2,583 |
2,921 |
4,015 |
18 |
1,734 |
2,103 |
2,552 |
2,878 |
3,922 |
20 |
1,725 |
2,086 |
2,528 |
2,845 |
3,850 |
25 |
1,708 |
2,060 |
2,485 |
2,787 |
3,725 |
30 |
1,697 |
2,042 |
2,457 |
2,750 |
3,646 |
35 |
1,689 |
2,030 |
2,437 |
2,724 |
3,591 |
40 |
1,684 |
2,021 |
2,423 |
2,704 |
3,551 |
45 |
1,679 |
2,014 |
2,412 |
2,689 |
3,522 |
50 |
1,676 |
2,008 |
2,403 |
2,677 |
3,497 |
60 |
1,671 |
2,000 |
2,390 |
2,660 |
3,460 |
70 |
1,667 |
1,995 |
2,381 |
2,648 |
3,436 |
80 |
1,664 |
1,990 |
2,374 |
2,639 |
3,416 |
90 |
1,662 |
1,987 |
2,368 |
2,632 |
3,401 |
100 |
1,660 |
1,984 |
2,364 |
2,626 |
3,391 |
∞ |
1,645 |
1,960 |
2,326 |
2,576 |
3,291 |
ДОДАТОК Д