I. Метод окаймляющих миноров.
Пусть в матрице А найден минор М k-го порядка, отличный от нуля. Рассмотрим лишь те миноры (k + 1)-го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор М: если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. В противном случае среди окаймляющих миноров найдётся ненулевой минор (k + 1)-го порядка, и вся процедура повторится.
Пример 1. Найти ранг матрицы
Фиксируем
минор 2-го порядка, отличный от нуля: 
Минор
3-го порядка 
,
окаймляющий минор M3 также отличен от нуля. Однако оба минора 4-го порядка, окаймляющие M3, равны нулю:
,
Поэтому ранг А равен 3: rangA = 3.
З а м е ч а н и е . Нахождение ранга матриц методом окаймляющих миноров требует вычисления определителей. Поэтому этим методом удобней пользоваться для вычисления ранга матриц небольшого размера. Для вычисления ранга матрицы, у которой число строк и столбцов больше трёх, рациональней использовать метод элементарных преобразований.
II. Метод элементарных преобразований
Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие:
1. Перестановка строк (столбцов).
2. Умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля.
3. Прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на некоторое число.
4. Вычёркивание строки (столбца), все элементы которой равны нулю.
З а м е ч а н и е . 1) Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы; 2) матрицы, полученные одна из другой путём элементарных преобразований, называются эквивалентными (обозначаются A ~ В).
Чтобы вычислить ранг матрицы А, путём элементарных преобразований сводим её к ступенчатому виду (в частности к треугольному), выделяя наибольший минор, отличный от нуля.
A~
rangA = rangB= k
52 Жорданова нормальная форма
Жорданова матрица (нормальная жорданова форма) — одно из фундаментальных понятий линейной алгебры, имеющее большое число приложений в различных разделах математики и физики.
Жордановой
матрицей называется
квадратная блочно-диагональная матрица над полем 
,
с блоками вида
при
этом каждый блок 
называется жордановой
клеткой с собственным
значением
(собственные
значения в различных блоках, вообще
говоря, могут совпадать).
Для
произвольной квадратной
матрицы
над алгебраически
замкнутым полем
(например,
полем комплексных чисел 
)
всегда существует квадратная невырожденная
(т.е. обратимая, с отличным от нуля
определителем) матрица 
над
,
такая, что
является
жордановой матрицей. При этом
матрица 
называется жордановой
формой (или жордановой
нормальной формой)
данной матрицы
.
В этом случае также говорят, что жорданова
матрица
в
поле
подобна (или сопряжена)
данной матрице
.
И наоборот, в силу эквивалентного
соотношения
матрица подобна в поле матрице . Нетрудно показать, что введённое таким образом отношения подобия является отношением эквивалентности и разбивает множество всех квадратных матриц заданного порядка над данным полем на непересекающиеся классы эквивалентности.
Жорданова форма матрицы определена не однозначно, а с точностью до порядка жордановых клеток. Точнее, две жордановы матрицы подобны над в том и только в том случае, когда они составлены из одних и тех же жордановых клеток и отличаются друг от друга лишь расположением этих клеток на главной диагонали.