12 Парабола (определение, координаты фокуса, расстояния от точки до фокуса)

Парабола есть геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние от некоторой фиксированной точки, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой прямой, называемой директрисой (директриса не проходит через фокус).

В ыберем систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через точку фокуса F перпендикулярно директрисе L, начало координат расположим в середине отрезка FN (рис. 11).

Расстояние между фокусом F и директрисой L

обозначим р. Значение р называют параметром параболы.

Пусть M(x, y) - текущая точка параболы, тогда, по определению параболы имеем   или   отсюда получаем - каноническое уравнением параболы.(11.13)

Вершина параболы находится в начале координат, и кривая симметрична относительно оси Ох (рис. 11).

13 Исследование формы параболы по ее каноническому уравнению

1 . В уравнении (11.13) переменная у входит в четной степени, значит, парабола симметрична относительно оси Ох; ось Ох является осью сим­метрии параболы.

2. Так как р > 0, то из (11.13) следует, что  . Следовательно, парабола рас­положена справа от оси Оу.

3. При х=0 имеем y=0.

Следователь­но,  парабола проходит через начало коор­динат.

  4. При неограниченном возрастании х модуль у также неограниченно возраста­ет. Парабола   имеет вид (фор­му), изображенный на рисунке 39. Точ­ка O(0; 0) называется вершиной параболы, отрезок FM =r называется фокальным радиусом точки М.

Уравнения у2 = —2рх, х2 = 2ру, х2 = -2ру (р > 0) также определяют параболы, они изображены на рисунке 40.

 

      

Нетрудно показать, что график квадратного трехчлена   , где   , В и С любые действительные числа, представляет собой параболу в смысле приведенного выше ее определения.

14.Эксцентриситет эллипса и гиперболы.

1. Эксцентриситет эллипса.

Определение. называется отношение c ⁄ a, где с — половина расстояния между фокусами, а — большая полуось эллипса.

Э ксцентриситет обозначают буквой ε: ε = c⁄ a. Так как ε = с ⁄ a, то 0 ≤ ε ≤ 1. Принимая во внимание, что :

Получим:

Из последнего равенства легко получается геометрическое истолкование эксцентриситета эллипса. При очень малом ε числа а и b почти равны, т.е. эллипс близок к окружности. Если же ε близко к единице, то число b весьма мало по сравнению с числом а и эллипс сильно вытянут вдоль большой оси. Таким образом, эксцентриситет эллипса характеризует меру вытянутости эллипса. Соотношения для фокальных радиусов для эллипса примут вид

2. Эксцентрисистет гиперболы

Определение.Эксцентриситетом гиперболы называется отношение с ⁄ а, где с — половина расстояния между фокусами, а — действительная полуось гиперболы.  Эксцентриситет гиперболы (как и эллипса) обозначим буквой ε. Так как с > а: то ε > 1, т. е. эксцентриситет гиперболы больше единицы. Очевидно,

Из последнего равенства легко получается геометрическое истолкование эксцентриситета гиперболы. Чем меньше эксцентриситет, т. е. чем ближе он к единице, тем меньше отношение b ⁄a, а это означает, что основной прямоугольник более вытянут в направлении действительной оси. Таким образом, эксцентриситет гиперболы характеризует форму ее основного прямоугольника, а, значит, и форму самой гиперболы.  В случае равносторонней гиперболы ( a = b) имеем

Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии а ⁄ ε от него, называются директрисами гиперболы (здесь а — действительная полуось, ε — эксцентриситет гиперболы).   Аналогично случаю эллипса доказывается теорема: если г — расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого-нибудь фокуса, d — расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r ⁄ d есть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы.  Установленное свойство эллипса и гиперболы можно положить в основу общего определения этих линий: множество точек, для которых отношение расстояний до фокуса и до соответствующей директрисы является величиной постоянной, равной ε , есть эллипс, если ε < 1, и гипербола, если ε > 1.

15.Директрисы Эллипса и Гиперболы

Директрисы Эллипса

Определение. Две прямые, перпендикулярные большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии а⁄ ε от него, называются директрисами эллипса (здесь, а — большая полуось, ε — эксцентриситет эллипса). Так как для эллипса ε < 1, то a ⁄ ε > a. Отсюда следует, что правая директриса расположена правее правой вершины эллипса, а левая — общее свойство, присущее эллипсу. Теорема. Если r1 — фокальное расстояние произвольной точки М эллипса до какого-нибудь фокуса, d — расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r1 ⁄d есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим для определенности, что речь идет о правом фокусе F1 и правой директрисе. Пусть М (х; у) — произвольная точка эллипса. Расстояние от точки М до правой директрисы выражается равенством

Кроме того,

С оставляя отношение, получим :

А налогично доказывается для левого фокуса эллипса.

Директрисы Гиперболы

Определение. Директрисами гиперболы называются две прямые,уравнения которых в канонической для гиперболы системе координат имеют вид

Т ак как

О бозначение.Расстояние между директрисами обозначается 2d и равно

Теорема. Для любой точки гиперболы отношение ее фокального радиуса к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная равная эксцентриситету:

Доказательство. При выводе канонического уравнения гиперболы мы получили формулы для вычисления фокальных радиусов точки гиперболы с координатами М(х, у):

где числа х, εx+a и εx-a иимеют одинаковые знаки. Из рисунка мы видим, что при х < 0

Теорема доказана.