Определение

Для данной матрицы  ,  , где Е — единичная матрица, является многочленом от  , который называется характеристическим многочленом матрицы A(иногда также "вековым уравнением" (secular equation)).

Ценность характеристического многочлена в том, что собственные значения матрицы являются его корнями. Действительно, если уравнение   имеет не нулевое решение, то  , значит матрица   вырождена и ее определитель   равен нулю.

Связанные определения

• Матрицу   называют характеристической матрицей матрицы А.

• Уравнение   называют характеристическим уравнением матрицы A.

Свойства

• Для матрицы  , характеристический многочлен имеет степень  .

• Все корни характеристического многочлена матрицы являются её собственными значениями.

• Теорема Гамильтона — Кэли: если   — характеристический многочлен матрицы  , то  .

• Характеристические многочлены подобных матриц совпадают:  .

• Если A и B — две  -матрицы, то  . В частности, отсюда вытекает, что tr(AB)=tr(BA) и det(AB)=det(BA).

• В более общем виде, если A —  -матрица, а B —  -матрица, причем m<n, так что AB и BA — квадратные матрицы размеров m и n соответственно, то

.

48 Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования Пример нахождения

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора 

     Ненулевой вектор   называется собственным вектором линейного оператора  , если   (  для комплексного  ), такое, что   Число   называется собственным числом (собственным значением) оператора f, соответствующим этому собственному вектору.

     Если в некотором базисе оператор f имеет матрицу А и в том же базисе вектор   имеет координатный столбец X, то   или 

     Собственные числа   линейного оператора   - корни характеристического уравнения  , где   - матрица оператора f,   - символ Кронекера.

     Для каждого собственного значения   соответствующие собственные векторы могут быть найдены из матричного уравнения   или соответствующей ему системы линейных уравнений

     Линейный оператор называется оператором простой структуры, если существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Матрица линейного оператора в этом базисе имеет вид

где   - соответствующие собственные значения.

49 Понятие характеристического многочлена и числа Теорема о характеристических многочленах подобных матриц

Повторяется, вопрос повторяется с 47.

50 Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования Свойства собственных векторов Пример нахождения

Опять повторение, ответ под 48 вопросом

51 Диагональная матрица Построение преобразующей матрицы След матрицы

Определение

Квадратная матрица  , где   для всяких  , называется диагональной матрицей.

Диагональная матрица имеет вид:

Такая матрица является одновременно и верхнетреугольной и нижнетреугольной.

Обозначение

Диагональная матрица   c элементами  , стоящими на главной диагонали обозначается следующим образом:

.

Свойства

• Диагональная матрица является симметричной:

.

• Ранг диагональной матрицы равен количеству ненулевых элементов, находящихся на главной диагонали.

• Определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов:

.

• Алгебраическое дополнение недиагонального элемента диагональной матрицы равно нулю, то есть

• Обратная матрица для диагональной матрицы равна:

Рассмотрим прямоугольную матрицу А (т x п)

Пусть в матрице А выбраны произвольно k-строк и k-столбцов  . Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k, определитель которой называется минором k-порядка матрицы А.

Определение. Рангом матрицы А называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля

rang A = K, если  , M_k+1= 0 , M_k+2= 0,....

Приведём основные методы вычисления ранга матрицы.