Линейные преобразования

            Определение: Будем считать, что в линейном пространстве L задано некоторое линейное преобразование А, если любому элементу Î L по некоторому правилу ставится в соответствие элемент АΠL.

            Определение: Преобразование А  называется линейным, если для любых векторов ÎL и Î L и любого a верно:

A(+) = A+A 

A(a) = aA

 

            Определение: Линейное преобразование называется тождественным, если оно преобразует элемент линейного пространства сам в себя.

Е =

            Пример. Является ли А линейным преобразованием. А=+;  ¹ 0.

Запишем преобразование А для какого- либо элемента .  А = +

Проверим, выполняется ли правило операции сложения для этого преобразования А(+) =++; A() + A() = +++, что верно только при = 0, т.е. данное преобразование А нелинейное.

 

            Определение: Если в пространстве L имеются векторы линейного преобразования , то другой вектор является линейной комбинацией векторов .

            Определение: Если  только при a = b = … = l = 0, то векторы называются линейно независимыми.

            Определение: Если в линейном пространстве L есть n линейно независимых векторов, но любые n + 1 векторов линейно зависимы, то пространство L называется n-мерным, а совокупность линейно независимых векторов называется базисом линейного пространства L.

            Следствие: Любой вектор линейного пространства может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса.

45 Изменение матрицы линейного преобразования при переходе к новому базису

Пусть    --   -мерное линейное пространство,   и    -- два базиса в этом пространстве. Первый из них назовем "старым", а второй -- "новым". Пусть    -- матрица перехода 19.1.4 а от старого базиса к новому.

        Предложение 19.1   Пусть    -- линейное преобразование пространства   ,   и    -- матрицы этого преобразования в старом и новом базисе соответственно. Тогда

        Доказательство.     Пусть    -- произвольный вектор пространства  ,    -- его образ, то есть   . Пусть   и    -- координатные столбцы векторов   и   в старом базисе, а   ,    -- в новом. Тогда в силу формулы (19.3)   . По  предложению 18.5 имеем   ,   . Подставим эти выражения в предыдущую формулу, получаем   . Откуда   . С другой стороны, в силу формулы (19.3) в новом базисе   . Сравнивая это равенство с предыдущим, получаем   .      

        Определение 19.2   Две квадратных матрицы   и   одного порядка называются подобными, если существует такая невырожденная матрица   , что   .         

        Следствие 19.1   Матрицы одного линейного преобразования, соответствующие разным базисам, подобны друг другу, и наоборот, если матрицы подобны, то они являются матрицами одного и того же преобразования в разных базисах.

46 Кольцо линейных преобразований Обратное преобразование

Определение 1. Пусть   — векторное пространство над телом  . Пусть кроме того   — подкольцо кольца  линейных преобразований   над  . Говорят, что   — это плотное кольцо линейных преобразований¹⁾   над  , если для любого  , любых элементов  , линейно независимых над  , и любых   существует такой элемент  , что   ( ).

Пусть   — примитивное слева кольцо и   — точный неприводимый левый  -модуль. Если   — централизатор кольца   на модуле  , то полемме Шура   — тело. Тогда можно рассматривать   как (левое) векторное пространство над  , интерпретируя   как результат действия на  элемента  . Рассмотрим гомоморфизм колец  . Легко убедиться что   и  , то есть примитивное слева кольцо является подкольцом кольца   всех линейных преобразований векторного пространства   над телом  .

Лемма 1. Пусть   — примитивное слева кольцо,   — точный неприводимый левый  -модуль и  . Пусть кроме того   — конечномерное подпространство   над  . Тогда для любого   существует такой  , что   и  .

Теорема 1. (теорема плотности Джекобсона-Шевалле) Пусть   — примитивное слева кольцо,   — точный неприводимый левый  -модуль и  . Тогда   — плотное кольцо линейных преобразований пространства   над  .

Теорема 2. Пусть   — примитивное слева кольцо. Тогда для некоторого тела   либо кольцо   изоморфно кольцу   (кольцу всех квадратных матриц порядка   над телом  ), либо для любого натурального   существует подкольцо   в  , которое гомоморфно отображается на  .

47 Понятие характеристического многочлена и числа Характеристические многочлены подобных матриц