Примеры исследования последовательностей с точки зрения существования их предела

Рассмотрим несколько последовательностей, имеющих различное предельное поведение своих членов при . При этом полезно наблюдать поведение членов каждой последовательности на координатной оси.

.

Рис. 9

Если отметить эти числа на координатной оси (рис. 9), то нетрудно предположить, что , так как в любую окрестность числа 0 попадает в бесконечное множество чисел , вернее, попадают все , начиная с некоторого номера.

Докажем строго, что , пользуясь записью определения (2):

при .

Действительно, зафиксируем произвольное малое число и найдем номера , для которых выполняется записанное в определении неравенство:

;

е сли взять

таким образом, для можно указать номер , такой что при верно неравенство . Это и означает по определению предела, что , ч.т.п.

2. ;

отмечая эти числа на координатной оси, видим (рис. 10), что все они с возрастанием номера n попадают в окрестность точки 0 сколь малой бы её ни назначать; отличие от предыдущего примера состоит в том, что здесь числа приближаются к нулю с обеих сторон.

Рис. 10

Докажем строго, что , используя запись определения (2):

при ;

по произвольно зафиксированному числу находим номер , сначала решая записанное неравенство относительно n:

Например, для конкретных значений получим:

Таким образом, определение (2) того, что , выполнено, поэтому , ч.т.д.

3.

, (рис. 11):

Рис. 11

По расположению чисел на координатной прямой предполагаем, что . Докажем это строго по записи определения (3):

при .

Решаем неравенство относительно , считая число фиксированным, и находим номер :

, так как .

Таким образом, определение (3) выполнено, следовательно, , ч.т.д.

4.

Рис. 12

не существует, так как нельзя указать такое число а, в любой окрестности которого находились бы все члены этой последовательности, начиная с некоторого номера, (рис. 12).

5.

не существует, так как нет такой точки , для которой бы выполнялось определение предела данной последовательности; это видно по расположению точек на координатной прямой (рис. 13): не все , попадают в , хотя члены последовательности с четными номерами стремятся к 0.

Рис. 13

6. ;

для этой последовательности и значение предела принимается всеми с четными номерами.

Определение сходящейся или расходящейся, бесконечно большой и бесконечно малой последовательности

Если последовательность   имеет конечный предел: , то называется сходящейся последовательностью; в противном случае называется расходящейся последовательностью (т.е. для расходящейся последовательности или или или не ).

Если , то называется бесконечно большой последовательностью.

Если , то называется бесконечно малой последовательностью.

Например, в рассмотренных выше примерах сходящимися являются последовательности с , а также последовательность ; все эти последовательности являются также бесконечно малыми, потому что все они имеют пределом число 0.

Последовательности с , , а также последовательность являются расходящимися; из них бесконечно большой является только последовательность с .