Теоремы о сходящихся последовательностях

Теорема о сумме, разности и произведении сходящихся последовательностей

Если последовательность и являются сходящимися, то есть имеют конечные пределы: и , то сходящимися являются их сумма, разность и произведение, при этом , .

 Для доказательства используем признак сходящейся последовательности и свойства бесконечно малых последовательностей:

1)

сходящаяся последовательность;

2)

сходящаяся последовательность. 

Замечания

1. В качестве следствия из теоремы о пределе произведения получаем, что если одна из перемножаемых последовательностей является стационарной, например, , то ,

так как предел постоянной равен этой постоянной. Поэтому следствие можно сформулировать так:

постоянный множитель можно выносить за знак предела последовательности.

2. Теоремы о пределе суммы и о пределе произведения сходящихся последовательностей распространяются на любое конечное числослагаемых или сомножителей: ;

.

Теорема о пределе дроби

Если последовательность – сходится, последовательность – сходится, но при этом не является бесконечно малой и : , то сходящуюся последовательность образуют дроби , при этом .

 ;

Дроби можно образовать, так как , и представить в следующем виде:

.

Поработаем с :

следовательно, ограниченная как всякая сходящаяся последовательность, но не является бесконечно малой (так как ); при этом при достаточно больших номерах n величины являются положительными, так как сохраняют знак своего предела , поэтому обратные им величины также являются ограниченными.

Теперь можно сделать вывод о том, что величины образуют бесконечно малую последовательность (по теореме о произведении бесконечно малой и ограниченной послдовательностей).

Таким образом доказано, что

. 

Примеры практического вычисления пределов. Понятие о неопределенностях

Рассмотрим примеры вычисления пределов с использованием доказанных теорем обесконечно малых, бесконечно больших, ограниченных и сходящихся последовательностях:

1. , по теореме о пределе суммы сходящихся последовательностей;

2. , по теореме о сумме двух бесконечно больших одного знака;

3. , по теореме о произведении бесконечно большой на ограниченную последовательность, так как ограниченная, не является бесконечно малой и ;

4. , по теореме о связи бесконечно большой и бесконечно малой;

5. , так как постоянный множитель можно выносить за знак предела;

6. , по теореме о произведении бесконечно малой и ограниченной последовательностей.

Если заданный предел нельзя вычислить ни по одной из теорем о сходящихся, о бесконечно малых, бесконечно больших и ограниченных последовательностях, то говорят, что в этом пределе имеется преопределенность, и указываютеё тип: , , , и другие. Чтобы вычислить такой предел, нужно неопределенность раскрыть, то есть сделать тождественное преобразование выражения, стоящего под пределом, так, чтобы неопределенность исчезла и предел можно было вычислить по одной из рассмотренных теорем.

Примеры (раскрытие неопределенностей)

1. , предел вычисляется по теореме о пределе частного;

2. , при вычислении предела были использованы теорема о пределе дроби, об ограниченности сходящейся последовательности и о произведении бесконечно большой на ограниченную последовательность, не являющуюся бесконечно малой;

3. , при вычислении использованы теоремы о сумме двух бесконечно больших одного знака, о связи бесконечно большой с бесконечно малой, постоянный множитель вынесен за знак предела;