7.Ограниченность последовательности, связь с пределом

Если множество значений членов последовательности является ограниченным сверху (снизу), то называется ограниченной сверху (снизу) последовательностью.

Если     ограничена     и   сверху   и   снизу,    то    она    называется ограниченной последовательностью:

ограничена числа и .

Это формальное определение ограниченной последовательности можно записать в другом виде:

ограничена , при этом .

Точные грани ограниченной последовательности – это точные грани множества её значений: , .

Если      не является ограниченной, то она называется неограниченной последовательностью.

Например,

1) – это ограниченная последовательность, так как при ;

2)   – это неограниченная последовательность, так как не является ограниченной сверху.

Теорема об ограниченности сходящейся последовательности

Если последовательность имеет конечный предел, то она является ограниченной.

Пусть . По определению конечного предела в любой  - окрестности точки

находятся все члены последовательности, начиная с некоторого номера. Поэтому, если

взять , то вне промежутка может находиться только конечное количество

чисел :

Рис.19

Обозначим через наибольшее расстояние от числа до чисел :

.

Тогда для будет верно, что . Это по определению и означает ограниченность .

Обратное утверждение не является верным, то есть из ограниченности последовательности не следует существование её конечного предела.

Например, числа образуют ограниченную, но не сходящуюся последовательность.

Теорема о неограниченности бесконечно большой последовательности

Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной.

 Пусть (или или ). По определению бесконечного предела в любой находятся все члены этой последовательности, начиная с некоторого номера, то есть верно неравенство при . Отсюда следует, что не может быть ограниченной сверху, так как в противном случае существовало бы число , такое что ; но это бы противоречило неравенству , если число взять таким, что , (рис. 20).

Рис. 20

Таким образом, является неограниченной, так как она не ограничена сверху. 

Обратное утверждение не является верным, то есть не всякая неограниченная последовательность  является  бесконечно  большой.  

Например, – это неограниченная последовательность, но не бесконечно большая.

В результате доказанных теорем можно схематично изобразить связь понятий ограниченности и предела последовательности:

является ограниченной; является неограниченной.

Словами эта связь формулируется следующим образом:

Ограниченность является необходимым условием для сходимости последовательности, но недостаточным. Неограниченность является необходимым условием для бесконечно большой последовательности, но недостаточным.