4.Переход к пределу в неравенствах

Теорема о переходе к пределу в неравенствах

Если члены двух последовательностей и связаны неравенством (начиная хотя бы с некоторого номера) и существуют их пределы и , то .

 Для доказательства допустим противное: (см. рис. 17).

Рис. 17

Рис. 18

Тогда для непересекающихся окрестностей и будем иметь, что

и . Поэтому для , где , будет , так как все элементы из больше любого элемента из . Это противоречит неравенству , поэтому предположение о том, что , является неверным. Следовательно, верно обратное неравенство , ч.т.д. 

Другими словами доказанную теорему можно сформулировать так:

в неравенстве можно переходить к пределу: (при условии, что существуют пределы обеих частей неравенства), при этом строгое неравенство переходит в нестрогое.

5.Теорема о зажатой последовательности

Теорема о зажатой последовательности

Если все члены трех последовательностей  , и    связаны неравенствами и две крайние последовательности имеют одинаковые пределы , , то средняя последовательность имеет тот же предел: .

 Рассмотрим - произвольно взятую окрестность точки а.

Тогда

при , где , будет верно, что и

поэтому весь промежуток .

Но так как , то при , ч.т.д. 

Иллюстрация к теореме приведена на рис. 18. Понятно, что теорема останется справедливой, если неравенство между членами трех последовательностей выполняется хотя бы начиная с некорого номера.

6.Связь сходящейся последовательности с её пределом и бесконечно малой последовательностью

Напомним, что последовательность называется бесконечно малой последовательностью (б.м.), если .

Если расписать определение конечного предела, равного нулю, то получим:

– б.м. при ,

то есть члены бесконечно малой последовательности сколь угодно мало отличаются от числа 0 при достаточно больших номерах .

Например, бесконечно малыми последовательностями являются

, , и др.

Теорема о связи сходящейся последовательности с её пределом и бесконечно малой последовательностью

Для того чтобы последовательность имела конечный предел а, необходимо и достаточно, чтобы её члены представлялись как сумма числа а и некоторой бесконечно малой последовательности: , где – б.м.

 Необходимость:

пусть при

для верно, что при

- б.м. и , то есть необходимость доказана.

Достаточность:

пусть , где - б.м.

при

т.к. , то при

, то есть достаточность доказана. 

Эту теорему ещё называют необходимым и достаточным условием существования конечного предела последовательности, или признаком сходящейся последовательности.

Иногда её принимают за определение конечного предела последовательности.

Примеры (на признак сходящейся последовательности)

1) ;

2) , так как – б.м.;

3)