8.Упражнения для самостоятельной работы

1. Пользуясь признаком существования конечного предела, докажите, что

      1) ; 2) ; 3) ; 3) .

2. Среди последовательностей с общим членом укажите номера сходящихся, бесконечно больших, бесконечно малых последовательностей и последовательностей, не имеющих предела:

       1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

       5)   ; 6) ;  7) ; 8) .

1. Среди последовательностей с общим членом укажите номера ограниченных и неограниченных последовательностей; для каждой ограниченной последовательности укажите её точные грани:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) 8) .

Ответы к упражнениям для самостоятельной работы

2. Сходящиеся последовательности: 3), 4), 6);

бесконечно большие последоовательности: 1), 2), 8);

бесконечно малые последовательности: 3), 4);

последоватльности, которые не имеют предела: 5), 7).

3. Ограниченные последовательности: 2), 3), 5), 6), 7), 8);

неограниченные последовательности: 1), 4);

точные грани ограниченных последовательностей:

2) ;

3) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

3. Основные теоремы о бесконечно малых, бесконечно больших и сходящихся последовательностях

Напомним основные определения, которые будут использоваться в этом параграфе:

- б.м. при ;

- б.б. при ;

- сходящаяся конечный ;

- ограниченная число ;

признак сходящейся последовательности:

, где - б.м.

Основные теоремы о бесконечно малых последовательностях

Теорема о сумме двух бесконечно малых

Если две последовательности и являются бесконечно малыми при , то их сумма также является бесконечно малой при .

 - б.м. ;

- б.м. .

Рассмотрим теперь последовательность с членами при , где :

при этом использовано известное свойство модуля: ;

таким образом показано, что

для . 

Теорема о произведении бесконечно малой и ограниченной последовательностей

Если последовательность    является бесконечно малой, а последовательность является ограниченной, то их произведение есть бесконечно малая последовательность при .

 - ограниченная ;

- б.м. .

Рассмотрим последовательность с членами :

так как по свойствам модуля ;

таким образом показано, что

. 

Теорема о произведении двух бесконечно малых последовательностей

Произведение двух бесконечно малых последовательностей и есть также бесконечно малая последовательность при .

 - б.м. - сходящаяся последовательность - ограниченная как всякая сходящаяся последовательность есть б.м., (по теореме о произведении бесконечно малой и ограниченной последовательностей). 

Теорема о связи бесконечно малой последовательности с бесконечно большой последовательностью

Если последовательность является б.м. при и , то последовательность является бесконечно большой при .

 - б.м. .

Рассмотрим последовательность с общим членом при (все числа существуют, так как по условию теоремы):

так как (также использовано свойство модуля );

таким образом показано, что

при . 