Определители, их свойства и вычисление

Каждой квадратной матрице A порядка n можно поставить в соответствие единственное число, которое вычисляется по определенному правилу. Это число называется определителем матрицы A и обозначается |A| или det A, или Δ(A), Δ_А. Порядок матрицы A является и порядком ее определителя.

Определителем второго порядка, соответствующим матрице

называется число .

Этот определитель обозначают или .

Определителем третьего порядка, соответствующим матрице , называется число, обозначаемое или и определяемое равенством

.

Для запоминания этого определения существует простое правило, которое называется «правилом треугольников». Каждое слагаемое, стоящее в правой части со знаком плюс, представляет собой произведение трех элементов определителя, взятых, как показано на схеме 1. Каждое слагаемое, стоящее со знаком минус, представляет собой произведение трех элементов определителя, взятых, как показано на схеме 2.

Схема 1 Схема 2

Минором M_ij элемента a_ij, где называется определитель (n–1)-го порядка, который состоит из элементов матрицы, полученной из данной путем «вычеркивания» i-й строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента называется произведение минора этого элемента на число , где i - номер строки, j - номер столбца, на пересечении которых стоит элемент . Алгебраическое дополнение элемента обозначают . Таким образом,

Свойства определителей

1. общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя;

2. перестановка двух строк (столбцов) меняет знак определителя на противоположный;

3. определитель не изменится при замене всех его строк соответствующими столбцами;

4. |A| = 0, если выполняется одно из следующих условий:

- в определителе есть нулевая строка (нулевой столбец);

- в определителе есть пропорциональные строки (столбцы);

5. если к элементам одной строки (столбца) определителя прибавить линейную комбинацию соответствующих элементов других строк (столбцов), то значение определителя не изменится;

6. Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Пример. Вычислить определитель различными спо­собами.

Решение: 1-й способ. Используем правило треугольников:

2-й способ. Разложим определитель по первой строке:

Решение систем трех линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Система трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными имеет вид

где – коэффициенты системы; – свободные члены.

Определитель

называется определителем системы.

Если определитель системы то система имеет единственное решение.

Необходимо:

1) вычислить определитель Δ;

2) в определителе Δ заменить поочередно i-й столбец столбцом свободных членов и вычислить соответствующие определители

3) вычислить значения по формулам Крамера:

4. записать решение

Пример. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:

Решение:

1. Вычислим определитель системы:

.

2. , следовательно, система имеет единственное решение. Находим его, используя формулы Крамера:

, , ,

3.

, , .

Ответ: (2;3;1).