Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Система трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными имеет вид

где – коэффициенты системы; – свободные члены.

Матрица

называется матрицей системы.

Матрица

называется расширенной матрицей системы.

Элементарными преобразованиями строк матрицы называются:

1) перестановка строк;

2) умножение строки на одно и то же число λ

) прибавление к строке матрицы другой ее строки, умноженной на некоторое число.

С помощью элементарных преобразований любая матрица может быть

приведена к трапециевидному виду.

Метод Гаусса заключается в приведении расширенной матрицы системы к трапециевидному виду с помощью элементарных преобразований, выполняемых над строками матрицы. Необходимо:

1) записать расширенную матрицу системы;

2) с помощью элементарных преобразований строк расширенной матрицы свести матрицу системы к треугольной или трапециевидной (с нулевыми элементами под главной диагональю);

3) для преобразованной таким образом расширенной матрицы записать соответствующую систему уравнений;

4) решить полученную систему, начиная с последнего уравнения;

5) записать решение

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса Решение:

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к трапециевидной:

Выполненные элементарные преобразования: (1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2.  К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –1. 

(2) У второй строки сменили знак (умножили на –1). Вторую и третью строки поменяли местами. 

(3) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 5. (4) У второй строки сменили знак (умножили на –1). Третью строку разделили на 14.

Имеем:

Ответ:  .

Предел функции в точке и на бесконечности

Число А называется пределом функции f(x) в точке х₀, если функция определена в некоторой выколотой окрестности точки х₀ и если для любого сколь угодно малого числа существует такое число что для всех х, удовлетворяющих условию

выполняется

Это записывают так:

Число А называется пределом функции на бесконечности (при или ), если для любого существует число что для всех х, удовлетворяющих условию

выполняется неравенство

Это записывают так:

или

Функция называется бесконечно малой функцией при (или ), если

Функция называется бесконечно большой при

Если функции f(x) и g(x) имеют пределы в точке х₀, то:

где

где

Формулы обобщаются на любое конечное количество слагаемых и множителей.

Аналогичные свойства верны и для предела функции на бесконечности.

Если в результате непосредственного использования данных формул возникают неопределенности типа то вначале необходимо тождественно преобразовать выражение, стоящее под знаком предела .

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций

1. Число А является пределом функции f(x) в точке х₀ тогда и только тогда, когда существует бесконечно малая функция при такая, что

2. Сумма и произведение конечного числа бесконечно малых (бесконечно больших) функций при является бесконечно малой (бесконечно большой) функцией.

3. Произведение бесконечно малой функции при на ограниченную функцию является бесконечно малой.

4. Частное при делении постоянной С, на бесконечно малую функцию при является бесконечно большой при

5. Частное при делении постоянной С на бесконечно большую функцию при является бесконечно малой при

Примеры. Вычислите пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:

а) б) в)

г)

Решение:

а)

б)

в)

г)

Так как ( ) = 0, то теорему о пределе частного применить нельзя. Умножая числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, получим

Ответ: а) ; б) ; в) 0 ; г) -8.

Понятие производной. Правила дифференцирования. Таблица производных

Пусть функция определена в точке и в некоторой ее окрестности, x – точка из рассматриваемой окрестности. Прира­щением аргумента в точке называется величина приращением функции – величина Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, при условии, что предел существует.

Производную в точке обозначают По определению

при условии, что предел существует.

Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Производная функции в точке – это число.