Элементы комбинаторики

Часто приходится составлять из конечного числа элементов различные комбинации и производить подсчет числа всех возможных комбинаций, составленных по некоторому правилу. Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся их решением, называется комбинаторикой.

Правило суммы: если некоторый объект A можно выбрать m способами, а объект B – k способами, причем любой способ выбора объекта A отличен от любого способа выбора B, то выбор «A или B» можно сделать m + k способами.

Правило произведения: пусть объект A можно выбрать m способами, а после каждого такого выбора другой объект B можно выбрать (независимо от объекта A) k способами, то пару объектов A и B можно выбрать mk способами.

Перестановками из n элементов называются такие комбинации, которые отличаются только порядком расположения элементов.

Число возможных перестановок из n элементов вычисляют по формуле:

(читается «n-факториал»). Пример . Определить, сколькими различными способами могут разместиться на скамейке 6 человек.

Решение: согласно формуле при n = 6, находим

Ответ:720.

Размещениями множества из   различных элементов по   элементов   называются комбинации, которые составлены из данных   элементов по   элементов и отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.

Число размещений из n по k обозначают и вычисляют по формуле

Пример. Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневый переплеты. Сколькими способами он может это сделать?

Решение: число возможных способов вычисляется по формуле

Ответ:1728

Сочетаниями из   различных элементов по   элементов называются комбинации, которые составлены из данных   элементов по   элементов и отличаются хотя бы одним элементом.

В сочетаниях в отличие от размещений не учитывается порядок элементов. 

Число сочетаний из n элементов по k обозначается и вычисляется по формуле

Пример . В девятом классе 35 учащихся. Из них нужно выбрать четыре делегата на конференцию. Определить, сколько имеется возможностей такого выбора.

Решение: используем формулу

Ответ:52360

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Следствие 1: Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.

Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

Событие А называется независимым от события В, вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Вероятность события В, вычисленная при условии, что имело место событие А, называется условной вероятностью события В.

Теорема умножения вероятностей зависимых событий.

Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило.

или

В случае произведения нескольких зависимых событий вероятность равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных при условии, что вероятность каждого последующего вычисляется в предположении, что все остальные события уже совершились.

Теорема умножения вероятностей независимых событий. Если события А и В независимы, то вероятность их произведения равна произведению их вероятностей:

Пример1. На клумбе растут 20 красных, 30 синих и 40 белых астр. Найти вероятность того, что в темноте сорвут окрашенную астру, если будут рвать только одну.

Решение. Обозначим события: А – сорвана окрашенная астра; А₁ – сорвана красная астра; А₂ – сорвана синяя астра. Имеем:

Ответ :

Пример 2. Слово папаха составлено из букв разрезной азбуки. Карточки с буквами тщательно перемешиваются. Четыре карточки извлекаются по очереди и раскладываются в ряд. Найти вероятность получить таким путем слово папа.

Решение. Введем обозначения для событий: А₁ – первой извлечена буква п; А₂ – второй извлечена буква А; А₃ – третьей извлечена буква П; А₄ – четвертой извлечена буква А; А – получилось слово ПАПА. Очевидно, Имеем:

Ответ:

Пример3. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.

Решение:

Обозначим попадание в цель первым стрелком – событие А, вторым – событие В, промах первого стрелка – событие , промах второго – событие .

Вероятность того, что первый стрелок попадет в мишень, а второй – нет равна

Вероятность того, что второй стрелок попадет в цель, а первый – нет равна

Тогда вероятность попадания в цель только одним стрелком равна

Ответ: 0,38.