Формула Бернулли

Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события.

Пусть для заданного целого числа k обозна­чает вероятность того, что в n опытах событие A наступит ровно k раз. В этом случае имеет место формула Бернулли:

или

где p – вероятность наступления события A в каждом из испытаний,

При больших n и малых p справедлива формула Пуассона где

Пример 1. Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину равна 0,6. Произведено 8 бросков. Найти вероятность того, что при этом будут ровно два попадания.

Решение. Вероятность ровно двух попаданий найдем по формуле Бернулли (31.11) при n = 8; p = 0,6; q = 0,4; k = 2:

Ответ:0,041.

Пример 2 . Среди 100 человек приблизительно 8 левшей. Найти вероятность того, что среди сотни наугад выбранных человек не ока­жется ни одного левши.

Решение. Так как значение р = 0,008 мало и n = 100 велико, то воспользовавшись формулой Пуассона при = 0,8, получим:

Ответ:0,4493

Формула полной вероятности. Формула Байеса

Пусть событие A может наступить совместно только с одним из событий образующих полную группу несовместных событий (гипотез). Так как события образуют полную группу несовместных событий, то

Тогда вероятность появления события определяется по формуле полной вероятности:

где – вероятность события

– условная вероятность события A при этом событии.

Если вероятности событий до опыта были а в результате опыта появилось событие A, то условная вероятность с учетом появления события A вычисляется по формуле Байеса:

Пример 1. Имеются пять винтовок, три из которых с оптическим прицелом. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0,95; без оптического прицела – 0,8. Найти вероятность попадания в цель, если стрелок сделает один выстрел из наудачу взятой винтовки.

Решение. Введем обозначения:

A – стрелок попал в цель из наудачу взятой винтовки;

H₁ – стрелок сделал выстрел из винтовки с оптическим прицелом;

H₂ – стрелок сделал выстрел из винтовки без оптического прицела.

Формула полной вероятности в данном случае имеет вид:

Учитывая то, что

получаем:

Ответ:0,89.

Пример 2.Известно, что 5%  всех мужчин и 2,5% всех женщин – дальтоники. Случайно выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина? Считать, что мужчин и женщин одинаковое число.

Решение:

Обозначим события:

H₁ - случайно выбранный человек -мужчина; H₂ - случайно выбранный человек - женщина.

Вероятности этих событий: 

A  - случайно выбранный человек- дальтоник.

Условные вероятности события 

События H₁ и H₂ образуют полную группу событий, поэтому вероятность события A находится по формуле полной вероятности

Требуется найти вероятность события   По формуле Байеса получаем

Ответ:

Дискретные случайные величины. Числовые характеристики случайных величин

Случайной величиной (СВ), связанной с данным опытом, называется величина, которая при каждом осуществлении этого опыта принимает то или иное значение, причем заранее неизвестно, какое именно.

Случайные величины обозначают прописными буквами ла­тинского алфавита X, Y, Z, U, …, а значения, принимаемые ими, – соответствующими строчными буквами x, y, z, u, …

Любое правило, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называет­ся законом распределения случайной величины.

Наиболее удобными для изучения являются так называемые дискретные случайные величины. Они характеризуются тем, что могут принимать лишь конечное или счетное множество значений.

Итак, дискретная случайная величина задается таблицей вида:

X	x1	x2	x3	…	xn
P	p1	p2	p3	…	pn

с условием, что числа p₁, p₂, … положительны и

Эту таблицу обычно называют законом распределения дискретной случайной величины X.

Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание.

Математическим ожиданием M(X) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех возможных значений величины X на соответствующие вероятности:

Математическое ожидание не дает полной характеристики закона распределения случайной величины. Характеристиками рассеивания возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсией D(X) дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины X от ее математического ожидания:

Дисперсию удобно вычислять по формуле

Средним квадратическим отклонением  случайной величины X называется корень квадратный из дисперсии:

Каждой случайной величине X можно сопоставить функцию F, определенную на всей числовой оси. При любом x₀ значение F(x₀) задается равенством т. е. F(x₀) есть вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее, чем x₀.

Функция F называется функцией распределения случайной величины X.Все значения функции распределения F(x) принадлежат отрезку [0; 1], т. е.

Пример.По заданному ряду распределения случайной величины Х:

Хi	0	1	2	3	4
Рi	0,0001	0,0036	0,0486	0,2916	0,6561

1) вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X), среднее квадратичное отклонение σ(Х);

2. найти функцию распределения F(X).

Решение.

Математическое ожидание М(Х) определим по формуле .

M(X)=0·0,0001+1·0,0036+2·0,0486+3·0,2916+4·0,6561=3,6.

Для вычисления дисперсии найдем вначале :

=0²·0,0001+1²·0,0036+2²·0,0486+3²·0,2916+4²·0,6561=13,32.

Теперь вычислим дисперсию по формуле

13,32-3,6²=0,36.

Среднее квадратичное отклонение вычислим по формуле σ(Х)= . Таким образом, σ(Х)= .

Составим функцию распределения случайной величины Х:

при х 0 F(x)=0

при 0<x1 F(x)=0,0001;

при 1 <x2 F(x)=0,0001+0,0036=0,0037;

при 2<x3 F(x)=0,0037+0,0486=0,0523;

при 3 <х4 F(x)=0,0523+0,2916=0,3439;

при х >4 F(x)=0,3439+0,6561=1.Таким образом, функция распределения F(x)имеет вид:

п ри х 0

при 0<x1

при 1 <x2

при 2<x3

при 3 <х4

при х>4

Ответ: М(Х) = 3,6; D(x) = 0,36; σ(Х) = 0,6.