Основные правила дифференцирования

Пусть – дифференцируемые функции. Справедливы формулы:

где

где

Таблица производных основных элементарных функций

где в частности:

где в частности,

где в частности

Пример: Найти производную функции:

1) 2) 3)

Решение. 1) Дифференцируем функцию, используя правила дифференцирования и таблицу производных:

2) Дифференцируем функцию:

3) Дифференцируем функцию:

Производная сложной функции

Если и – дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции вычисляется по формуле

Обобщенная таблица производных

где в частности:

где в частности,

где в частности,

Примеры.

1) Вычислить если

Решение: Это сложная функция .Дифференцируем ее по формуле При этом пользуемся первой формулой обобщенной таблицы производных при условии

Вычислим значение производной при

2) Найти производную функции:

Решение: Рассмотрим функцию как где – также сложная функция. Применив формулу дифференцирования сложной функции, обобщенную таблицу производных, а также правило дифференцирования частного двух функций, получим:

Основные понятия теории вероятностей

Всякое осуществление определенного комплекса условий или действий, при которых наблюдается соответствующее явление, называют опытом или испытанием (например, опытом являются стрельба по мишени, бросание монеты, бросание игральной кости, т. е. кубика с нанесенным на каждую грань числом очков – от одного до шести).

Возможный результат, исход опыта называется событием. Для обозначения событий используются большие буквы латинского алфавита: A, B, C, D и т. д.

Событие называется достоверным в данном опыте, если оно обязательно произойдет в этом опыте. Достоверное событие обозначают .

Событие называется невозможным, если в данном опыте оно не может произойти. Невозможное событие обозначают

Событие называется случайным по отношению к данному опыту, если при осуществлении этого опыта оно может наступить, а может и не наступить.

Суммой событий A и B называется третье событие A + B, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: A или B.

Произведением событий A и B называется третье событие AB, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: A и B.

Событием, противоположным событию A, называется событие которое наступает тогда и только тогда, когда не наступает событие А.

События А, В, С называются несовместными, если два из них не могут произойти в данном опыте вместе.

События А, В, С называются совместными, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при этом же испытании.

Событие А называется благоприятствующим событию В, если наступление события А влечет за собой наступление события В.

Вероятностью события А называется отношение числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех равновозможных элементарных событий опыта, в котором может появиться событие А.

где m – число элементарных событий, благоприятствующих событию A;n – число всех элементарных событий.

Пример . Найти вероятность появления верхней грани с числом очков, делящимся на 3, при бросании игральной кости.

Решение. Благоприятствующими данному событию A будут элементарные события A₃ и A₆ (выпадение 3 и 6), а всего элементарных исходов будет шесть. Поэтому