1. Перелік лабораторних робіт Лабораторна робота № 1 ( 2 год. )

Тема. Побудова та аналіз однофакторної лінійної економетричної моделі.

Мета заняття: засвоїти метод 1МНК для побудови лінійної однофакторної моделі,ознайомитись з особливостями застосування статистичних критеріїв адекватності моделі.

Постановка задачі: на основі статистичних даних про дві ознаки Y і X знайти:

• оцінки параметрів лінійної моделі залежності між фактором та показником ;

• коефіцієнт детермінації та оцінку коефіцієнта кореляції між фактором та показником;

• використовуючи критерій Фішера з надійністю Р=0,95 оцінити адекватність прийнятої економетричної моделі статистичним даним;

• використовуючи t-статистику з надійністю Р=0,95 оцінити значущість коефіцієнта кореляції;

• довірчі інтервали для розрахункових значень показника;

• коефіцієнт еластичності моделі.

• якщо модель адекватна статистичним даним, знайти прогноз показника та його надійні інтервали при відомих прогнозованих значеннях фактора.

Короткі теоретичні відомості

Лінійна економетрична модель з двома змінними має вигляд:

.

де - залежна змінна, або показник; - незалежна змінна, або фактор, , - параметри моделі, - залишки, або помилки моделі, які обумовлені дією неврахованих, або випадкових факторів. За умови, що залишки моделі мають і сталу дисперсію: , оцінки параметрів моделі та можна знайти за допомогою методу найменших квадратів. У результаті отримуємо систему лінійних рівнянь:

З якої визначають невідомі оцінки параметрів. Отримані оцінки повинні задовольняти властивостям незміщеності, статистичної значущості, ефективності. Ці умови, а також адекватність моделі статистичним даним перевіряється за допомогою статистичних критеріїв, таких як критерій Стьюдента, критерій Фішера, коефіцієнт детермінації. У разі адекватності моделі, на її основі можна проводити прогноз на те, як буде поводитись показник при заданих значеннях фактора.

Хід роботи

Висувається гіпотеза, що між фактором X показником Y існує лінійна стохастична залежність .

1. Завантажити програму EXCEL.

2. Сформувати таблицю вихідних даних (див.рис.1.1 , діапазон А3:В15).

3. Зробити необхідні розрахунки (див рис.1.1 , у 19 – му рядку обчислено суми). Можна використовувати функцію СУММ.

4. Розрахувати середнє значення величин X та Y (для цього можна застосувати вбудовану функцію СРЗНАЧ ), або значення суми за певним рядком розділити на об’єм вибірки.

5. Для визначення об’єму вибірки можна використати функцію ЧСТРОК, аргументом якої треба вказати діапазон клітинок.

6. Знайти оцінки параметрів лінійної залежності

.

Як відомо, оцінки параметрів а та лінійної однофакторної моделі обчислюються за формулами:

,

,

де – об’єм вибірки досліджень; , – середні значення показника та фактора відповідно, – сума значень фактора, сума значень показника та ін.

7. Обчислити розрахункові значення показника (i=1,...,13). Оскільки математичне очікування відхилень фактичних даних показника від розрахункових дорівнює нулю, то при правильному виконанні розрахунків значення сум по стовбцям та збігатимуться.

8. Знайти відхилення кожного розрахункового значення показника від відповідного дійсного: та суму квадратів цих відхилень: .

9. При дослідженні моделі слід знайти дисперсії показника, залишків та регресії за формулами:

,

,

,

де т – кількість невідомих моделі ( у даному випадку т=1); тоді - кількість параметрів моделі.

Обчислити коефіцієнт детермінації

,

та коефіцієнт кореляції

_.

10. Обчислити критерій для перевірки значущості коефіцієнта кореляції:

.

11. Порівняти з табличним, , який знаходимо на рівні значущості , та відповідно до числа ступенів свободи . Для цього можна скористатися вбудованою функцією СТЬЮДРАСПОБР (див рис. 1.1, де ).

12. Якщо , то на даному рівні значущості можна зробити висновок про значущість коефіцієнта кореляції.

13. Обчислити розрахункові значення критерію Фішера за формулою

.

14. Отримане розрахункове значення критерію Фішера необхідно порівняти з критичним значенням, яке знаходимо із таблиць відповідно до вибраного рівня значущості та і ступенях свободи (для однофакторної лінійної регресії , ). Якщо , то на даному рівні значущості можна вважати, що модель адекватна статистичним даним, у протилежному випадку – ні.

15. Оцінимо довірчу зону базисних даних та довірчого інтервалу прогнозу, для цього знайдемо:

• значення ;

• значення ;

• значення ;

• та їх суми. (див рис.1.1 діапазон F3:H19).

16. Обчислити значення стандартної помилки (де m – число факторів моделі )

17. Обчислити значення ширини довірчого інтервалу розрахункових значень показника ∆ , де – таке ж, як і знайдене в п. 12, та верхні та нижні границі довірчих інтервалів показника , (див. рис. 1.1 діапазон I3:K19).

18. Розрахувати коефіцієнт еластичності за формулою , або у випадку лінійної залежності: (див. рис. 1.1).

19. За допомогою майстра побудови діаграм побудувати кореляційне поле даної статистичної вибірки та лінію регресії.

На рис. 1.1 показано, як може виглядати робочий лист EXCEL після виконання роботи. На рис. 1.2 зображено кореляційне поле даної статистичної вибірки і побудовано за розв’язком задачі лінію регресії.