Лабораторна робота № 3 ( 2 год. )

Тема. Побудова та аналіз нелінійної однофакторної економетричної моделі з невідомим законом зв’язку

Мета заняття: навчитись за статистичними даними визначатися щодо специфікації можливої економетричної моделі, будувати нелінійну економетричну модель та робити висновки щодо її якості з використанням статистичних критеріїв.

Постановка задачі: задана вибірка, отримана для двох показників: фактора X та залежної змінної Y. Необхідно:

• висунути гіпотезу про вид залежності між фактором та показником;

• побудувати модель даної залежності;

• побудувати модель лінійної залежності;

• перевірити значущість відмінності від нуля отриманих оцінок коефіцієнтів моделей, використовуючи t-статистику Стьюдента;

• перевірити адекватність отриманої залежності за критерієм Фішера;

• провести економічний аналіз впливу фактора x на показник y з використанням коефіцієнта еластичності;

• побудувати прогноз для значення показника при заданому значенні фактора за кращою моделлю;

• побудувати кореляційне поле заданої вибірки, а також лінії лінійної та нелінійної регресії.

Короткі теоретичні відомості

Для приблизного визначення форми зв’язку між фактором і показником необхідно побудувати кореляційне поле даної статистичної вибірки. Якість моделі залежить від того, наскільки вдало підібрано вид залежності . У випадках показникових залежностей, наприклад, таких як , модель можна звести до лінійної за допомогою логарифмування. Тоді оцінки параметрів вихідної моделі знаходяться за допомогою оберненого перетворення. Адекватність нелінійної моделі перевіряється за допомогою критерію Фішера. Прогноз будуємо спочатку для допоміжної лінійної моделі, а потім за допомогою обернених перетворень установлюємо границі прогнозного інтервалу для показника . Швидкість зміни показника при зміні фактора характеризує коефіцієнт еластичності моделі: .

Хід роботи

1. Завантажити програму Excel.

2. Сформувати масив вихідних даних (див. рис. 3.1, діап. A21:C21).

3. За допомогою майстра діаграм зобразити кореляційне поле даної вибірки (див. рис. 3.2).

4. Висунемо гіпотезу, що між фактором і показником існує стохастична залежність, яку можна описати у вигляді експоненційної моделі:

5. Для порівняння сформуємо моделі двох видів: лінійну та експоненційну .

6. Модель зводиться до лінійної за допомогою перетворення:

.

Позначимо , , тоді маємо: .

7. Виконаємо допоміжні розрахунки:

• використовуючи вбудовану функцію LN, розрахуємо стовпчик ;

• розрахуємо суми за всіма стовпчиками даних (вбудована функція СУММ).

• знайдемо дисперсії фактора і показника. Тут можна скористатися формулами, наведеними в роб. № 1, або вбудованою функцією ДИСПР, яка повертає виправлену дисперсію.

• за допомогою вбудованої функції КОРРЕЛ, що повертає значення кореляції між двома масивами, розрахуємо коефіцієнти кореляції між X та Y а також між X та (див рис. 3.1).

8. Щоб знайти оцінки параметрів лінійної моделі залежності від , можна скористатися формулами, що вказані в лаб. роб. №1. Для порівняння, можна скористатися ще й убудованими функціями НАКЛОН та ОТРЕЗОК що повертають значення кутового коефіцієнта та вільного доданка рівняння лінійної регресії (див. рис. 3.1.).

9. Значення параметрів лінійної моделі для залежності від знаходимо точно так, як і в попередньому пункті. Далі (див. рис. 3.1, для порівняння поряд стоять значення цих параметрів, знайдені за допомогою вбудованих функцій НАКЛОН та ОТРЕЗОК ). Тепер можна записати нелінійну залежність (див.рис. 3.1).

10. Для оцінки якості моделей знаходимо розрахункові значення за лінійною та за нелінійною моделлю. Позначимо їх та : , (див. рис.3.1)

11. Знаходимо відхилення та суми квадратів відхилень за цими моделями: і дисперсії залишків (формули аналогічні до роб. № 1).

12. Робимо висновок про якість кожної моделі.

13. Перевіряємо значущість коефіцієнта кореляції. Для цього знаходимо розрахункове значення критерію Стьюдента за формулою:

.

Та порівнюємо його з критичним значенням, яке знаходимо для рівня значущості та числа ступенів вільності ( для даного випадку візьмемо , , ). Нагадаємо, що для знаходження табличного значення критерію Стьюдента можна скористатися вбудованою функцією СТЬЮДРАСПОБР . Якщо , то можна зробити висновок про значущість коефіцієнта кореляції.

14. Перевірити адекватність моделі за допомогою критерію Фішера (див. попередні роботи).

15. Знайдемо коефіцієнт еластичності моделі. Оскільки для показникової моделі коефіцієнт еластичності , то для базисних даних він буде знаходитись у межах:

до .

Зробимо відповідні висновки.

16. Прогноз будуємо тільки для нелінійної моделі. Для цього задамо прогнозним значенням фактора і побудуємо спочатку точковий прогноз за допоміжною лінійною моделлю: .

Побудуємо інтервальний прогноз для математичного сподівання показника. Для цього:

17. Знайдемо квадрати залишків допоміжної моделі , суму цих залишків і дисперсію залишків (див. рис . 3.1, діап O1:O22 та M25).

18. Знайдемо ширину прогнозного інтервалу за формулою:

,

де – критерій Стьюдента; рівень значущості тут треба брати через двосторонній інтервал довіри, степінь свободи .

19. Тоді довірчий інтервал для математичного сподівання показника знайдемо у вигляді:

.

20. Тоді довірчий інтервал для математичного сподівання показника нелінійної моделі можна знайти у вигляді::

,

де , (див. рис. 3.1).

Приклад виконання роботи в пакеті EXCEL подано на рис. 3.1. На рис. 3.2. зображено кореляційне поле даної статистичної вибірки і побудовані за розв’язками задачі лінії експонентної та лінійної регресії.

Рис. 3.1

Вигляд робочого листа EXCEL після виконання роботи.