Лабораторна робота №4 ( 2год. )

Тема. Побудова та аналіз багатофакторної лінійної моделі

Мета заняття: навчитись робити специфікацію моделі у випадку, коли статистичні дані містять багатофакторні дослідження. Засвоїти алгоритм побудови лінійної багатофакторної економетричної моделі. Навчитись працювати з даними, записаними у матричній формі. Навчитись будувати прогноз та робити висновки на основі такої моделі.

Постановка задачі: задано статистичні дані про значення трьох взаємопов’язаних економічних показників.

• Виконати специфікацію моделі;

• побудувати модель зв’язку між факторами X₁ та X₂ і показником Y у вигляді лінійної багатофакторної моделі _, знайти оцінки параметрів цієї моделі;

• перевірити адекватність отриманої моделі статистичним даним за допомогою коефіцієнта детермінації та з використанням критерію Фішера з надійністю Р=0,95.

• Оцінити статистичну значущість оцінок параметрів моделі;

• У випадку адекватності отриманої моделі експериментальним даним знайти:

– точкову оцінку прогнозу показника при заданих значеннях фактора;

– з надійністю Р=0,95 інтервальну оцінку прогнозу;

Короткі теоретичні відомості

Зв’язок між кількома або багатьма змінними, одна з яких є залежною, інші – незалежними змінними, описується загальною економетричною моделлю, зокрема, це може бути лінійна модель:

,

де – залежна змінна;

– незалежні змінні;

– стохастична складова.

a_j – параметри моделі.

Із загальною лінійною моделлю зручніше працювати, коли вона записана в матричній формі:

,

де X – матриця значень незалежних змінних;

– вектор оцінок параметрів моделі;

Вектор оцінок параметрів моделі знаходиться за методом найменших квадратів. Із використанням засобів алгебри матриць він може бути записаний у вигляді:

_.

Вектор залишків (помилок) моделі u знаходиться як .

Хід роботи

1. Завантажити програму EXCEL.

2. Сформувати таблицю вихідних даних.

3. Виконати специфікацію моделі, визначитися, яка змінна буде залежною і які – будуть незалежними, факторними та (див. рис.4.1).

4. Виконати попередні розрахунки:

Знайти об’єм вибірки (можна скористатися вбудованою функцією СЧЕТЗ);

Знайти значення сум рядків змінних, та .

Знайти середні значення цих змінних (можна скористатися вбудованою функцією СРЗНАЧ пакета EXCEL).

5. Побудувати матриці значень факторів , у цій матриці перший стовбчик складається з одиниць; показника , знайти , для цього можна скористатися вбудованою функцією ТРАНСП та добуток матриць (убудована функція МУМНОЖ).

6. Зауважимо, що матрицю можна побудувати іншим шляхом: елемент цієї матриці дорівнює числу спостережень; елемент дорівнює сумі першого фактора ; елемент цієї матриці дорівнює сумі значень другого показника ; елемент – це сума добутків відповідних значень показника: , на головній діагоналі стоять: елемент – сума квадратів значень першого показника ; елемент – це є сума квадратів другого показника . Далі матриця добудовується як діагональна (див рис. 4.1. діапазон B26:D28).

7. Побудувати . Для побудови оберненої матриці можна скористатися вбудованою функцією МОБР (див. рис. 4.1 діапазон B31:D33).

8. Знайти добуток _{. Зауважимо, що отримати добуток можна, скориставшись функцією добутку матриць} МУМНОЖ, або напряму: перший елемент цього вектора – це є сума значень показника, другий елемент – це сума добутків , третій елемент – сума добутків .

9. Знайти добуток матриць . Остання дає оцінки параметрів моделі:

_,

(див. рис. 4.1.).

Для оцінки якості моделі зробимо наступні розрахунки:

10. За побудованою моделлю знайти розрахункові значення показника _:

.

11. Знайти різниці між дійсними та розрахунковими значеннями показника та суму квадратів цих різниць: (див. рис. 4.1).

12. Знайти дисперсію залишків моделі за формулою:

,

_{де – кількість спостережень, – кількість змінних моделі.}

13. Знайти суму , та дисперсію показника: .

14. Знайти дисперсію регресії: ,

де т – кількість невідомих моделі ( у даному випадку т=2); тоді - кількість параметрів моделі.

15. Знайти коваріаційну матрицю моделі:

.

(див рис. 4.1. діапазон L31:N33). Ця матриця влаштована так, що на головній її діагоналі стоять дисперсії оцінок параметрів моделі , , а інші елементи визначають рівень коваріаціїї між цими оцінками .

Тепер оцінюємо якість моделі

16. Знайти стандартні помилки оцінок параметрів моделі.

, , .

17. Для оцінки статистичної значущості параметрів моделі скористаємося також критерієм Стьюдента:

.

Для порівняння необхідно знайти критичне значення критерію Стьюдента для заданого рівня значущості та числа степенів свободи (скористатися вбудованою функцією СТЬЮДРАСПОБР . Зробити відповідні висновки щодо значущості кожного коефіцієнта.

18. Оцінити незміщеність кожної оцінки: якщо становить менше ніж 15 – 20%, оцінку можна вважати незміщеною, у протилежному випадку – вона вважається зміщеною.

19. Знайти коефіцієнт детермінації:

,

та множинний коефіцієнт кореляції:

.

20. Значущість множинного коефіцієнта кореляції перевіряємо за допомогою критерію Стьюдента:

.

Порівняти розрахункове значення критерію з критичним, який треба знайти за таблицями розподілу Стьюдента для рівня значущості та кількості ступенів свободи . Якщо , то на даному рівні значущості можна зробити висновок про статистичну значущість коефіцієнта кореляції між залежною і пояснювальною змінною моделі.

21. Знайти критерій Фішера: . Для висновку порівняти це значення з табличним, яке треба шукати на рівні значущості , та числа ступенів свободи . Тут можна використати вбудовану функцію FРАСПОБР. Якщо , то на рівні значущості можна зробити висновок про адекватність моделі.

Якщо зроблено висновок про адекватність моделі, на її основі можна будувати прогноз щодо можливих значень показника при заданих значеннях фактора. Для цього:

22. Будуємо вектор прогнозованих значень факторів , де та задають довільно, згідно з економічних міркувань.

23. Значення обчислюється за моделлю:

,

це є точковий прогноз значення показника при заданих значеннях фактора.

24. Знайти дисперсію прогнозу. У матричному вигляді дисперсія прогнозу записується так:

,

(скористатися функціями дій з матрицями МУМНОЖ, МОБР).

25. Знайти ширину довірчого інтервалу для прогнозу математичного сподівання показника

,

де – параметр розподілу Стьюдента.

26. Тоді довірчий інтервал для математичного сподівання прогнозу показника запишемо у вигляді:

.

_{Приблизний вигляд робочого листа EXCEL після виконаної роботи зображено на рис. 4.1}