2. Практическая часть

Вариант 1

Задание 1. Найти вероятности событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

1.1. В блок входят три радиолампы. Вероятности выхода из строя в течение гарантийного срока для них соответственно равны: 0,3; 0,2; 0,4. Какова вероятность того, что в течение гарантийного срока выйдут из строя:

а) не менее двух радиоламп;

б) ни одной радиолампы;

в) хотя бы одна радиолампа?

1.2. У выходной двери висят 2 зонта – черного и коричневого цветов. Каждое утро перед выходом на улицу хозяин берет с собой один из зонтов: черный – с вероятностью 0,7, коричневый – с вероятностью 0,3. Какова вероятность того, что за три выхода из дома хозяин брал с собой ровно 2 раза черный зонт?

Задание 2. Найти вероятности событий, используя формулу полной вероятности и формулы Байеса.

2.1. 20 % приборов монтируется с применением микромодулей, остальные – с применением интегральных схем. Надежность приборов с применением микромодулей – 0,9, интегральных схем – 0,8. Найти:

а) вероятность надежной работы наугад взятого прибора;

б) вероятность того, что прибор – с микромодулем, если он был исправен.

2.2. На заводе, изготавливающем мелкие бытовые приборы, в одном из цехов установлены 5 станков по производству зажимов. Первый станок производит 10 %, второй – 15 %, третий – 20 %, четвертый – 25 % и пятый – 30 % всех изделий. Брак продукции составляет соответственно 2, 3, 4, 5 и 6 %. Какова вероятность того, что случайно выбранный зажим окажется с дефектом?

Вариант 2

Задание 1. Найти вероятности событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

1.1. В первом ящике 20 деталей, 15 из них – стандартные; во втором ящике 30 деталей, 25 из них – стандартные. Из каждого ящика наугад берут по одной детали. Какова вероятность того, что:

а) обе детали будут стандартными;

б) хотя бы одна деталь стандартная;

в) обе детали нестандартные?

1.2. Турбюро организовывает ежедневные экскурсии по Минску. Каждый из троих осмотревших достопримечательности Минска экскурсантов независимо от остальных либо благодарит экскурсовода (вероятность этого р₁ = 0,2), либо молча уходит (с вероятностью р₂ = 0,8). Какова вероятность того, что ровно 2 экскурсанта из трех ушли молча?

Задание 2. Найти вероятности событий, используя формулу полной вероятности и формулы Байеса.

2.1. Детали попадают на обработку на один из трех станков с вероятностями, соответственно равными: 0,2; 0,3; 0,5. Вероятность брака на первом станке равна 0,02, на втором – 0,03, на третьем – 0,01. Найти:

а) вероятность того, что случайно взятая после обработки деталь – стандартная;

б) вероятность обработки наугад взятой детали на втором станке, если она оказалась стандартной.

2.2. Некоторая общественная организация для проведения митинга наудачу выбирает одну из трех суббот (обозначим их 1, 2, 3). Вероятность того, что в i-ю субботу пойдет дождь (i = 1, 2, 3), равна соответственно 0,1; 0,2; 0,3. Известно, что во время митинга была ясная и солнечная погода. Какова апостериорная вероятность того, что митинг был в третью субботу?

Вариант 3

Задание 1. Найти вероятности событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

1.1. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9, вторым – 0,7. Оба стрелка сделали по одному выстрелу. Какова вероятность того, что цель поражена:

а) хотя бы один раз;

б) два раза;

в) один раз?

1.2. В трех цветочных горшках посажены три цветка, которые могут прижиться с вероятностями р₁ = 0,7, р₂ = 0,8 и р₃ = 0,6 соответственно. Какова вероятность того, что приживутся ровно 2 цветка?

Задание 2. Найти вероятности событий, используя формулу полной вероятности и формулы Байеса.

2.1. Среди поступивших на сборку деталей 30 % – с завода 1, остальные – с завода 2. Вероятность брака для завода 1 равна 0,02, для завода 2 – 0,03. Найти:

а) вероятность того, что наугад взятая деталь стандартная;

б) вероятность изготовления наугад взятой детали на заводе 1, если она оказалась стандартной.

2.2. Некий человек решил наудачу купить акции одного из 4-х предприятий. Если бы он купил акции первого предприятия, то вероятность получить дивиденды в течение года с момента покупки равнялась бы 0,8; для второго, третьего и четвертого предприятия эти величины равны соответственно 0,9, 0,7, 0,6. Известно, что человек дивиденды не получил. Какова апостериорная вероятность того, что человек купил акции второго предприятия?

Вариант 4

Задание 1. Найти вероятности событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

1.1. При одном цикле обзора радиолокационных станций, следящих за космическим кораблем, вероятности его обнаружения соответственно равны: 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что при одном цикле обзора корабль будет обнаружен:

а) тремя станциями;

б) не менее чем двумя станциями;

в) ни одной станцией.

1.2. В городе находятся две фирмы, оказывающие юридические услуги. Некоторое предприятие при необходимости прибегает к услугам либо первой (вероятность этого события 0,6), либо второй фирмы (вероятность этого события 0,4). Предприятие обратилось за помощью три раза. Какова вероятность того, что ровно 2 из них оно имело дело с первой фирмой?

Задание 2. Найти вероятности событий, используя формулу полной вероятности и формулы Байеса.

2.1. Три автомата изготовляют однотипные детали, которые поступают на общий конвейер. Производительности первого, второго и третьего автоматов соотносятся как 2:3:5. Вероятность того, что деталь с первого автомата – высшего качества, равна 0,8, для второго – 0,6, для третьего – 0,7. Найти вероятность того, что:

а) наугад взятая с конвейера деталь окажется высшего качества;

б) взятая наугад деталь высшего качества изготовлена первым автоматом.

2.2. Чтобы получить работу в солидной фирме, необходимо знание иностранного языка. Девушка, претендующая на такое место, наудачу выбирает одну из трех методик ускоренного изучения языка. Если бы она изучала язык по первой методике, то вероятность пройти тестирование при устройстве на работу равнялась бы 0,7; по второй и третьей – соответственно 0,8 и 0,6. Известно, что тест она не выдержала. Какова апостериорная вероятность того, что девушка занималась по первой методике?

Вариант 5

Задание 1. Найти вероятности событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

1.1. Вычислительная машина состоит из четырех блоков. Вероятность безотказной работы в течение времени Т первого блока равна 0,4, второго – 0,5, третьего – 0,6, четвертого – 0,4. Найти вероятность того, что в течение времени Т проработают:

а) все четыре блока;

б) три блока;

в) не менее трех блоков.

1.2. В отдел маркетинга в течение часа звонят 3 клиента. Первый клиент дозванивается с вероятностью р₁ = 0,8, для второго и третьего эти вероятности равны р₂ = 0,9 и р₃ = 0,7 соответственно. Каждый клиент сделал по одному звонку. Какова вероятность того, что дозвонится ровно один клиент?

Задание 2. Найти вероятности событий, используя формулу полной вероятности и формулы Байеса.

2.1. Комплектовщик получает для сборки 30 % деталей с завода 1, 20 % – с завода 2, остальные – с завода 3. Вероятность того, что детали с завода 1 – высшего качества, равна 0,9, для деталей с завода 2 – 0,8, для деталей с завода 3 – 0,6. Найти вероятность того, что:

а) случайно взятая деталь – высшего качества;

б) наугад взятая деталь высшего качества изготовлена на заводе 2.

2.2. Предприятие объявило конкурс на замещение вакантной должности главного менеджера. На отбор пришли 4 человека, каждого из которых могут взять на работу с равной вероятностью. Если главным менеджером станет первый претендент, то предприятие останется довольно своим выбором с вероятностью 0,9; для 2, 3 и 4-го претендентов эти вероятности равны соответственно 0,6; 0,8; 0,7. Известно, что новый главный менеджер отлично справился со своими обязанностями. Какова апостериорная вероятность того, что им стал третий претендент?

Вариант 6

Задание 1. Найти вероятности событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

1.1. Трое рабочих собирают подшипники. Вероятность того, что подшипник, собранный первым рабочим, – высшего качества, равна 0,7, вторым – 0,8, третьим – 0,6. Для контроля взято по одному подшипнику из собранных каждым рабочим. Какова вероятность того, что высшего качества будут:

а) все подшипники;

б) два подшипника;

в) хотя бы один подшипник?

1.2. Студент хранит книги на столе и книжной полке. Когда он собирается взять очередную книгу, то берет ее со стола или с книжной полки с вероятностями р₁ = 0,3, р₂ = 0,7 соответственно. Студент взял три книги (некоторые, возможно, из одного и того же места, причем при повторном взятии книги указанные вероятности не меняются). Какова вероятность того, что ровно две из них взяты с книжной полки?

Задание 2. Найти вероятности событий, используя формулу полной вероятности и формулы Байеса.

2.1. Заготовка может поступить для обработки на один из двух станков с вероятностями 0,4 и 0,6 соответственно. При обработке на первом станке вероятность брака составляет 2 %, на втором – 3 %. Найти вероятность того, что:

а) наугад взятое после обработки изделие – стандартное;

б) наугад взятое после обработки стандартное изделие обработано на первом станке.

2.2. В парке гуляет ребенок с надувным шариком. При этом он может с равной вероятностью встретить одного из своих знакомых. Обозначим их 1, 2, 3 и 4. Если ребенок встретит знакомого, то вероятность того, что он подарит ему шарик, равна 0,1; 0,1; 0,1 и 0,8 соответственно. Известно, что шарик был точно подарен. Какова апостериорная вероятность того, что счастливым обладателем шарика стал четвертый знакомый?

Вариант 7

Задание 1. Найти вероятности событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

1.1. На сборку поступают детали с трех станков с ЧПУ. Первый станок дает 20 %, второй – 30 %, третий – 50 % однотипных деталей, поступающих на сборку. Найти вероятность того, что из трех наугад взятых деталей:

а) три с разных станков;

б) три с третьего станка;

в) две с третьего станка.

1.2. Студент во время сессии может получить неудовлетворительную оценку по высшей математике с вероятностью 0,2, по физике с вероятностью 0,3 и по истории с вероятностью 0,1. Какова вероятность того, что студент не сдаст ровно один экзамен?

Задание 2. Найти вероятности событий, используя формулу полной вероятности и формулы Байеса.

2.1. На двух станках обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для станка 1 составляет 0,03, для станка 2 – 0,02. Обработанные детали складываются в одном месте, причем деталей, обработанных на станке 1, вдвое больше, чем на станке 2. Найти вероятность того, что:

а) взятая наугад деталь будет стандартной;

б) наугад взятая стандартная деталь изготовлена на первом станке.

2.2. Хозяйка идет покупать фрукты. Она с равной вероятностью может пойти на базар или в магазин. Если хозяйка пойдет на базар, то купит фрукты с вероятностью 0,8, а если в магазин, то с вероятностью 0,2. Известно, что хозяйка купила фрукты. Какова апостериорная вероятность того, что хозяйка пошла в магазин?

Вариант 8

Задание 1. Найти вероятности событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

1.1. Первый станок-автомат дает 1 % брака, второй – 1,5 %, а третий – 2 %. Случайным образом отобрали по одной детали с каждого станка. Какова вероятность того, что стандартными окажутся:

а) три детали;

б) две детали;

в) хотя бы одна деталь?

1.2. Имеются три партии деталей: в первой партии бракованные детали составляют 5 % от общего числа, во второй – 3 %, в третьей – 4 %. Из каждой партии берут для контроля по одной детали. Какова вероятность того, что среди взятых деталей ровно одна бракованная?

Задание 2. Найти вероятности событий, используя формулу полной вероятности и формулы Байеса.

2.1. В дисплейном классе имеется 10 персональных компьютеров первого типа и 15 второго типа. Вероятность того, что за время работы на компьютере первого типа не произойдет сбоя, равна 0,9, а на компьютере второго типа – 0,7. Найти вероятность того, что:

а) на случайно выбранном компьютере не произойдет сбоя;

б) компьютер, во время работы на котором не произошло сбоя, – первого типа.

2.2. Служащий некоторого предприятия решил в неофициальной обстановке во время обеда обсудить важный вопрос со своим начальником. С этой целью он может пойти в ближайшее кафе, в заводскую столовую или буфет. Встретить начальника в указанных местах можно соответственно с вероятностями 0,8; 0,1; 0,1. Служащий идет в наудачу выбранное место и встречает там начальника. Какова апостериорная вероятность того, что служащий пошел в ближайшее кафе?

Вариант 9

Задание 1. Найти вероятности событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

1.1. В цехе имеется три резервных электродвигателя. Для каждого из них вероятность того, что в данный момент он включен, соответственно равна: 0,2; 0,3; 0,1. Найти вероятность того, что включены:

а) два электродвигателя;

б) хотя бы один электродвигатель;

в) три электродвигателя.

1.2. Машинистка отпечатала 3 экземпляра литературного произведения. В первом экземпляре листы с ошибками составляют 2 %, во втором – 3 %, в третьем – 5 % от общего числа. Какова вероятность того, что литератор, взявший по одному листу из каждого экземпляра, обнаружит хотя бы один с ошибками?

Задание 2. Найти вероятности событий, используя формулу полной вероятности и формулы Байеса.

2.1. В пяти ящиках с тридцатью шарами в каждом содержится по 5 красных шаров, в шести других ящиках с двадцатью шарами в каждом – по 4 красных шара. Найти вероятность того, что:

а) из наугад взятого ящика наудачу взятый шар будет красным;

б) наугад взятый красный шар содержится в одном из первых пяти ящиках.

2.2. Фирма проводит выставку-продажу своей продукции, причем все экспонаты представлены в единственном экземпляре. Четыре клиента приходят на выставку-продажу последовательно, причем всех клиентов интересует один и тот же экспонат. Вероятности того, что каждый из них купит этот экспонат, равны 0,1; 0,1; 0,1 и 0,9 соответственно. Известно, что экспонат был куплен. Какова апостериорная вероятность того, что его обладателем стал четвертый клиент?

Вариант 10

Задание 1. Найти вероятности событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

1.1. На участке кросса для мотоциклиста имеются три препятствия. Вероятность успешного прохождения первого препятствия равна 0,4, второго – 0,5, третьего – 0,6. Найти вероятность успешного прохождения:

а) трех препятствий;

б) не менее двух препятствий;

в) двух препятствий.

1.2. Некоторое устройство состоит из четырех блоков, причем надежности (т. е. вероятности безотказной работы в течение какого-то промежутка времени Т) этих блоков равны р₁ = 0,8, р₂ = 0,7, р₃ = 0,9, р₄ = 0,5. Какова вероятность того, что за промежуток времени Т откажет ровно один блок?

Задание 2. Найти вероятности событий, используя формулу полной вероятности и формулы Байеса.

2.1. По линии связи передано два сигнала типа А и В с вероятностями соответственно 0,8 и 0,2. В среднем принимаются 60 % сигналов типа А и 70 % – типа В. Найти вероятность того, что:

а) посланный сигнал будет принят;

б) принятый сигнал типа А.

2.2. Комиссия проверяет работу торговой сети города. С этой целью она наудачу выбирает одну из торговых точек: А, В и С. Обнаружить погрешности в работе указанных точек можно с вероятностями 0,1; 0,2 и 0,3 соответственно. Известно, что нарушений в работе обнаружено не было. Какова апостериорная вероятность того, что комиссия посетила торговую точку?

Вариант 11

Задание 1. Найти вероятности событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

1.1. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9, второй – 0,7, третий – 0,6. Вычислить вероятность того, что студент сдаст:

а) два экзамена;

б) не менее двух экзаменов;

в) не более двух экзаменов.

1.2. Коммивояжер поочередно посетил ровно по одному разу четыре предприятия города, предлагая свою продукцию. Если его продукция вызывает интерес, то с ним заключают контракт, в противном случае ему вежливо отказывают. Продукция коммивояжера может заинтересовать руководство указанных предприятий с вероятностями р₁ = 0,1, р₂ = 0,2, р₃ = 0,15, р₄ = 0,08 соответственно. Какова вероятность заключения контракта не менее одного раза?

Задание 2. Найти вероятности событий, используя формулу полной вероятности и формулы Байеса.

2.1. Для сигнализации о том, что режим работы автоматической линии отклоняется от нормального, используются индикаторы двух типов. Вероятности того, что индикатор принадлежит к одному из двух типов, соответственно равны 0,4 и 0,6. При нарушении работы линии вероятность срабатывания индикатора первого типа равна 0,9, индикатора второго типа – 0,7.

а) Найти вероятность того, что наугад выбранный индикатор сработает при нарушении нормальной работы линии.

б) Индикатор сработал. К какому типу он вероятнее всего принадлежит?

2.2. На субботу назначено мероприятие по уборке территории. Субботник может быть отменен, если: а) пойдет дождь (вероятность этого 0,5); б) пойдет снег (0,1); в) будет сильный ветер (0,2). Известно, что субботник не состоялся в намеченный день. Какова апостериорная вероятность того, что это случилось из-за дождя?

Вариант 12

Задание 1. Найти вероятности событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

1.1. Самолет противника обнаруживается тремя радиолокаторами с вероятностями 0,8; 0,7; 0,5. Какова вероятность обнаружения самолета:

а) одним радиолокатором;

б) двумя радиолокаторами;

в) хотя бы одним радиолокатором?

1.2. В магазин поступило 3 партии трикотажных изделий. В первой партии брак составлял 0,5 %, во второй – 0,1 % и в третьей – 0,05 %. Из каждой партии наудачу берут по одному изделию. Какова вероятность того, что взятых изделий не менее одного окажется с браком?

Задание 2. Найти вероятности событий, используя формулу полной вероятности и формулы Байеса.

2.1. Резистор, поставленный в телевизор, может принадлежать к одной из двух партий с вероятностями 0,6 и 0,4. Вероятности того, что резистор проработает гарантийное число часов, для этих партий соответственно равны 0,8 и 0,7.

а) Найти вероятность того, что взятый наугад резистор проработает гарантийное число часов.

б) Резистор проработал гарантийное число часов. К какой партии он вероятнее всего принадлежит?

2.2. Семья решила поехать летом отдохнуть в Крым или на Кавказ (но окончательно в выборе не определилась). В городе три турфирмы, предлагающие путевки для отдыха: в первой фирме есть 10 путевок в Крым и 5 – на Кавказ; во второй – 7 в Крым, 5 – на Кавказ; в третьей соответственно – 5 и 3. Семья покупает наудачу путевку в наудачу выбранной турфирме. Какова вероятность того, что семья будет отдыхать в Крыму?

Вариант 13

Задание 1. Найти вероятности событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

1.1. Два бомбардировщика преодолевают зону ПВО. Вероятность того, что будет сбит первый бомбардировщик, равна 0,7, второй – 0,8. Найти вероятность:

а) уничтожения одного бомбардировщика;

б) поражения двух бомбардировщиков;

в) промахов.

1.2. Три гроссмейстера играют в шахматы против ЭВМ. Первый гроссмейстер выигрывает у машины с вероятностью р₁ = 0,4, второй – с вероятностью р₂ = 0,8, а третий – с вероятностью р₂ = 0,6. Каждый сыграл по одной партии. Какова вероятность того, что гроссмейстеры в совокупности выиграли не менее двух партий?

Задание 2. Найти вероятности событий, используя формулу полной вероятности и формулы Байеса.

2.1. При отклонении от штатного режима работы поточной линии срабатывает сигнализатор типа Т-1 с вероятностью 0,9 и сигнализатор типа Т-2 с вероятностью 0,8. Вероятности того, что линия снабжена сигнализаторами типов Т-1 и Т-2 соответственно равны 0,7 и 0,3.

а) Найти вероятность того, что при отклонении от штатного режима работы сигнализатор сработает.

б) Сигнализатор сработал. К какому типу он вероятнее всего принадлежит?

2.2. Организация приобрела для сотрудников две коробки шариковых ручек. В первой коробке оказалось 25 ручек с черным стержнем и 5 – с синим, во второй – соответственно 15 и 15. Секретарь наудачу взял ручку из наудачу выбранной коробки. Какова вероятность того, что в этой ручке окажется черный стержень?

Вариант 14

Задание 1. Найти вероятности событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

1.1. Стрелок произвел четыре выстрела по удаляющейся от него цели, причем вероятность попадания в цель в начале стрельбы равна 0,7, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Вычислить вероятность того, что цель будет поражена:

а) четыре раза;

б) три раза;

в) не менее трех раз.

1.2. Четыре стрелка делают по одному выстрелу (каждый по своей мишени). За один выстрел первый стрелок поражает мишень с вероятностью р₁ = 0,2, второй – с вероятностью р₂ = 0,5, третий – с вероятностью р₂ = 0,6, четвертый – с вероятностью р₂ = 0,4. Какова вероятность того, что суммарно окажется не более двух попаданий?

Задание 2. Найти вероятности событий, используя формулу полной вероятности и формулы Байеса.

2.1. Для участия в студенческих спортивных соревнованиях выделено 10 человек из первой группы и 8 – из второй. Вероятность того, что студент первой группы попадает в сборную института, равна 0,8, а для студента второй группы – 0,7.

а) Найти вероятность того, что случайно выбранный студент попал в сборную института.

б) Студент попал в сборную института. В какой группе он вероятнее всего учится?

2.2. На столе лежат 3 колоды по 36 карт в каждой. Из первой колоды берут «Даму пик» и «Даму треф»; из второй – «Даму червей»; из третьей – «Даму треф». Все взятые карты откладываются в сторону. После этого из наугад выбранной колоды берут первую попавшуюся карту. Какова вероятность того, что эта карта окажется «Дамой»?

Вариант 15

Задание 1. Найти вероятности событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

1.1. Первый рабочий изготавливает 40 % изделий второго сорта, а второй – 30 %. У каждого рабочего взято наугад по два изделия. Какова вероятность того, что:

а) все четыре изделия – второго сорта;

б) хотя бы три изделия – второго сорта;

в) не менее трех изделий – второго сорта?

1.2. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках, соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится хотя бы в одном справочнике.

Задание 2. Найти вероятности событий, используя формулу полной вероятности и формулы Байеса.

2.1. На сборку поступают детали с трех конвейеров. Первый дает 25 %, второй – 30 % и третий – 45 % деталей, поступающих на сборку. С первого конвейера в среднем поступает 2 % брака, со второго – 3 %, с третьего – 1 %. Найти вероятность того, что:

а) на сборку поступила бракованная деталь;

б) поступившая на сборку бракованная деталь – со второго конвейера.

2.2. В магазин на продажу поступили две партии однотипных курток по 50 штук в каждой. Процент курток со скрытым дефектом в первой партии равен 2 %, во второй – 4 %. Одну куртку из первой партии вывесили на витрину. Покупатель, купивший одну куртку из оставшихся из наудачу выбранной партии, обнаружил дефект. Какова апостериорная вероятность того, что эта куртка была из первой партии?

Вариант 16

Задание 1. Найти вероятности событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

1.1. При некоторых определенных условиях вероятность сбить самолет противника из первого зенитного орудия равна 0,4, из второго – 0,5. Сделано по одному выстрелу. Найти вероятность того, что:

а) самолет уничтожен двумя снарядами;

б) самолет поражен хотя бы одним снарядом;

в) ни один снаряд не попал в цель.

1.2. Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,1. Приобретено четыре билета. Какова вероятность выиграть хотя бы по одному из них?

Задание 2. Найти вероятности событий, используя формулу полной вероятности и формулы Байеса.

2.1. В двух коробках имеются однотипные конденсаторы. В первой – 20 конденсаторов, из них 2 неисправных, во второй – 10, из них 3 неисправных.

а) Найти вероятность того, что наугад взятый конденсатор из случайно выбранной коробки годен к использованию.

б) Наугад взятый конденсатор оказался годным. Из какой коробки он вероятнее всего взят?

2.2. Требуется успокоить капризного ребенка. Вероятности того, что ребенок успокоится с помощью погремушки, мягкой игрушки или конфеты соответственно равны 0,1; 0,2 и 0,7. Няня берет первый попавшийся предмет из имеющихся у нее трех погремушек, двух мягких игрушек и двух конфет и успокаивает ребенка. Какова апостериорная вероятность того, что няня взяла конфету?

Вариант 17

Задание 1. Найти вероятности событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

1.1. Вероятность выигрыша по лотерейному билету первого выпуска равна 0,2, второго – 0,3. Имеется по два билета каждого выпуска. Найти вероятность того, что выиграют:

а) три билета;

б) не менее трех билетов;

в) менее трех билетов.

1.2. Круговая мишень состоит из трех зон. Вероятности попадания в эти зоны при одном выстреле соответственно равны 0,1; 0,35; 0,4. Найти вероятность попадания в первую или третью зоны.

Задание 2. Найти вероятности событий, используя формулу полной вероятности и формулы Байеса.

2.1. В телевизионном ателье имеется два кинескопа первого типа и 8 – второго. Вероятность выдержать гарантийный срок для кинескопов первого типа равна 0,9, а для второго типа – 0,6. Найти вероятность того, что:

а) взятый наугад кинескоп выдержит гарантийный срок;

б) взятый наугад кинескоп, выдержавший гарантийный срок, первого типа.

2.2. Двое рабочих производят детали, которые поступают в отдел контроля, причем производительность первого рабочего в 4 раза больше производительности второго. Вероятность получения бракованной детали для первого рабочего равна 0,15, для второго – 0,05. Найти вероятность того, что наудачу выбранная стандартная деталь изготовлена вторым рабочим.

Вариант 18

Задание 1. Найти вероятности событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

1.1. Три команды спортивного общества А состязаются соответственно с тремя командами общества В. Вероятности выигрышей первой, второй и третьей команд из общества А у соответствующих команд из общества В равны: 0,7; 0,6; 0,4. Команды провели по одной встрече. Какова вероятность того, что команды общества А выиграют:

а) две встречи;

б) хотя бы две встречи;

в) три встречи?

1.2. В магазин вошли три покупателя. Вероятность того, что каждый что-нибудь купит, равна 0,3. Найти вероятность того, что по крайней мере два совершат покупки.

Задание 2. Найти вероятности событий, используя формулу полной вероятности и формулы Байеса.

2.1. У сборщика 16 деталей, изготовленных на заводе 1, и 10 деталей, изготовленных на заводе 2. Вероятность того, что детали выдержат гарантийный срок, соответственно равны: для деталей с завода 1 – 0,8; с завода 2 – 0,9.

а) Найти вероятность того, что взятая наугад деталь проработает гарантийный срок.

б) Взятая наугад деталь проработала гарантийный срок. На каком из заводов она вероятнее всего изготовлена?

2.2. Некоторое изделие выпускается двумя заводами. Продукция второго завода по объему в 3 раза превосходит продукцию первого. Доля брака у первого завода – 2 %, у второго – 3 %. Изделия, выпущенные заводами за определенный промежуток времени, перемешали и направили в продажу. Какова вероятность того, что приобретенное испорченное изделие изготовлено на первом заводе?

Вариант 19

Задание 1. Найти вероятности событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

1.1. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,7, вторым – 0,5. Найти вероятность того, что цель будет поражена:

а) двумя стрелками;

б) хотя бы одним стрелком;

в) только одним стрелком.

1.2. Вероятность хотя бы одного попадания в мишень при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания при одном выстреле.

Задание 2. Найти вероятности событий, используя формулу полной вероятности и формулы Байеса.

2.1. Телеграфное сообщение состоит из сигналов точка и тире, они встречаются в передаваемых сообщениях в отношении 5:3. Статистические свойства помех таковы, что искажаются в среднем 2/5 сообщений точка и 1/3 сообщений тире. Найти вероятность того, что:

а) передаваемый сигнал принят;

б) принятый сигнал – тире.

2.2. Чтобы выбрать, по какой из трех ведущих в город дорог поехать, водитель бросает игральную кость. Если выпадает одно очко, он выбирает первую дорогу, если 2 или 3 – вторую, в остальных случаях – третью. Вероятности попасть под дождь для указанных дорог равны соответственно р₁ = 1/2, р₂ = 1/3, р₃ = 1/4. Водитель попал под дождь. Какова вероятность того, что он поехал по третьей дороге?

Вариант 20

Задание 1. Найти вероятности событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

1.1. В коробках находятся детали: в первой – 20, из них 13 стандартных; во второй – 30, из них 26 стандартных. Из каждой коробки наугад берут по одной детали. Найти вероятность того, что:

а) обе детали окажутся нестандартными;

б) одна деталь нестандартная;

в) обе детали стандартные.

1.2. В трех залах кинотеатра идут три различных фильма. Вероятность того, что на определенный час в кассе первого зала есть билеты, равна 0,3, в кассе второго зала – 0,2, а в кассе третьего зала – 0,4. Какова вероятность того, что на данный час имеется возможность купить билет хотя бы на один фильм?

Задание 2. Найти вероятности событий, используя формулу полной вероятности и формулы Байеса.

2.1. Для поиска спускаемого аппарата космического корабля выделено 4 вертолета первого типа и 6 вертолетов второго типа. Каждый вертолет первого типа обнаруживает находящийся в районе поиска аппарат с вероятностью 0,6, второго типа – с вероятностью 0,7.

а) Найти вероятность того, что наугад выбранный вертолет обнаружит аппарат.

б) К какому типу вероятнее всего принадлежит вертолет, обнаруживший спускаемый аппарат?

2.2. Литье в болванках поступает из трех заготовительных цехов, причем производительность первого цеха в два раза меньше, чем второго, а производительность третьего цеха в два раза больше, чем второго. Материал первого цеха имеет 10 % брака, второго – 15 %, третьего – 20 %. Найти вероятность того, что взятая наугад болванка, оказавшаяся без дефектов, поступила из второго цеха.

Вариант 21

Задание 1. Найти вероятности событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

1.1. Три станка работают независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок в течение смены выйдет из строя, равна 0,1, второй – 0,2 и третий – 0,3. Найти вероятность того, что в течение смены выйдут из строя:

а) не менее двух станков;

б) два станка;

в) три станка.

1.2. В течение года три фирмы могут обанкротиться с вероятностями соответственно 0,01; 0,02 и 0,04. Найти вероятность того, что в течение года не обанкротятся, по крайней мере, две фирмы.

Задание 2. Найти вероятности событий, используя формулу полной вероятности и формулы Байеса.

2.1. Прибор состоит из двух узлов одного типа и трех узлов второго типа. Надежность работы в течение времени Т для узла первого типа равна 0,8, а для узла второго типа – 0,7.

а) Найти вероятность того, что наугад выбранный узел проработает в течение времени Т.

б) Узел проработал гарантийное время Т. К какому типу он вероятнее всего относится?

2.2. В цехе работают 100 станков. Из них 50 станков марки А, 30 – марки В и 20 – марки С. Вероятность того, что качество детали окажется отличным, равна для этих станков соответственно 0,6, 0,8 и 0,9. Какой процент бракованных деталей выпускает цех в целом?

Вариант 22

Задание 1. Найти вероятности событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

1.1. В ящике 50 % деталей, изготовленных на заводе 1, 20 % – на заводе 2 и 30 % – на заводе 3. Наугад взято три детали. Найти вероятность того, что:

а) все три детали – с завода 1;

б) две детали – с завода 1;

в) все три детали – с разных заводов.

1.2. Вероятность одного попадания в цель при одновременном залпе из двух орудий равна 0,44. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым орудием, если для второго орудия эта вероятность равна 0,8.

Задание 2. Найти вероятности событий, используя формулу полной вероятности и формулы Байеса.

2.1. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс вокзала А или в одну из пяти касс вокзала В. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира в кассах вокзала А имеются в продаже билеты, равна 0,6, в кассах вокзала В – 0,5.

а) Найти вероятность того, что в наугад выбранной кассе имеется в продаже билет.

б) Пассажир купил билет. В кассе какого вокзала он вероятнее всего куплен?

2.2. На двух автоматических станках изготовляются одинаковые детали. Известно, что производительность первого станка в два раза больше, чем второго, и что вероятность изготовления детали первого сорта на первом станке равна 0,9, а на втором – 0,81. Изготовленные за смену на обоих станках нерассортированные детали находятся на складе. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь первого сорта изготовлена на втором станке.

Вариант 23

Задание 1. Найти вероятности событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

1.1. Для аварийной сигнализации установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,9, второй – 0,7. Найти вероятность того, что при аварии:

а) сработают оба сигнализатора;

б) не сработает ни один сигнализатор;

в) сработает хотя бы один сигнализатор.

1.2. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность срабатывания при аварии первого устройства равна 0,9, второго – 0,85, третьего – 0,8. Найти вероятность того, что при аварии сработают, по крайней мере, два сигнализатора.

Задание 2. Найти вероятности событий, используя формулу полной вероятности и формулы Байеса.

2.1. В вычислительной лаборатории 40 % калькуляторов и 60 % дисплеев. Во время расчета 90 % микрокалькуляторов и 80 % дисплеев работают безотказно.

а) Найти вероятность того, что наугад взятая вычислительная машина проработает безотказно во время расчета.

б) Выбранная машина проработала безотказно во время расчета. К какому типу вероятнее всего она принадлежит?

2.2. Число сигналов, посылаемых из пункта В, относится к числу сигналов, посылаемых из пункта С, как 3:7. Из пункта В искажается 20 % сигналов, а из пункта С искажается 10 % всех сигналов. Найти вероятность того, что принятый неискаженный сигнал послан из пункта С.

Вариант 24

Задание 1. Найти вероятности событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

1.1. На двух станках обрабатываются однотипные детали. Появление бракованной детали для станка 1 составляет 3 %, для станка 2 – 4 %. С каждого станка взяли по одной детали. Найти вероятность того, что:

а) обе детали стандартные;

б) одна деталь стандартная;

в) обе детали нестандартные.

1.2. Для разрушения моста достаточно попадания хотя бы одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него будет сброшено 4 бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны: 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.

Задание 2. Найти вероятности событий, используя формулу полной вероятности и формулы Байеса.

2.1. В состав блока входят 6 радиоламп первого типа и 10 второго. Гарантийный срок обычно выдерживают 80 % радиоламп первого типа и 90 % – второго типа. Найти вероятность того, что:

а) наугад взятая радиолампа выдержит гарантийный срок;

б) радиолампа, выдержавшая гарантийный срок, первого типа.

2.2. Двое рабочих производят детали, которые складываются в один ящик. Известно, что производительность первого рабочего в три раза меньше, чем производительность второго. Вероятность получения бракованной детали для первого рабочего равна 0,05, для второго – 0,15. Найти вероятность того, что наудачу выбранная из ящика стандартная деталь произведена вторым рабочим.

Вариант 25

Задание 1. Найти вероятности событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

1.1. Три автомата изготавливают детали. Вероятность того, что деталь, изготовленная первым автоматом, – высшего качества, равна 0,9, вторым – 0,7, третьим – 0,6. Наугад берут по одной детали с каждого автомата. Найти вероятность того, что из взятых деталей:

а) все высшего качества;

б) две высшего качества;

в) хотя бы одна высшего качества.

1.2. Вероятность хотя бы одного попадания в мишень при трех выстрелах равна 0,784. Найти вероятность попадания при одном выстреле.

Задание 2. Найти вероятности событий, используя формулу полной вероятности и формулы Байеса.

2.1. На сборку поступают детали с трех автоматов, причем с первого 30 % всех деталей, со второго – 40 % и с третьего – 30 %. Вероятность брака для первого автомата равна 0,02, для второго – 0,03, для третьего – 0,04.

а) Найти вероятность того, что взятая наугад деталь – бракованная.

б) Взятая наугад деталь оказалась бракованной. С какого автомата она вероятнее всего поступила?

2.2. Запчасти поступают с трех баз, причем на первой базе деталей находится вдвое меньше, чем на второй, а на третьей – в три раза больше, чем на второй. На первой базе доля брака – 10 %, на второй – 20 %, на третьей – 5 %. Наудачу взятая запчасть оказалась без дефектов. Найти вероятность того, что она поступила с третьей базы.

Вариант 26

Задание 1. Найти вероятности событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

1.1. Вычислительный центр, который должен производить непрерывную обработку поступающей информации, располагает двумя вычислительными устройствами. Известно, что вероятность отказа за некоторое время Т у каждого из них равна 0,2. Найти вероятность безотказной работы за время Т:

а) каждого устройства;

б) хотя бы одного устройства;

в) одного устройства.

1.2. Первый студент из 20 вопросов программы выучил 17, второй – 12. Каждому студенту задают по одному вопросу. Найти вероятность того, что хотя бы один ответит верно.

Задание 2. Найти вероятности событий, используя формулу полной вероятности и формулы Байеса.

2.1. Имеется 6 коробок диодов типа А и 8 коробок диодов типа В. Вероятность безотказной работы диода типа А равна 0,8, типа В – 0,7.

а) Найти вероятность того, что взятый наугад диод проработает гарантийное число часов.

б) Взятый наугад диод проработал гарантийное число часов. К какому типу он вероятнее всего относится?

2.2. На склад поступает продукция с трех фабрик. Поступления с первой фабрики составляют 20 %, со второй – 46 %, с третьей – 34 %. Вероятность брака для первой фабрики равна 0,03, для второй – 0,02, для третьей – 0,01. Найти вероятность того, что наугад взятое нестандартное изделие поступило со второй фабрики.

Вариант 27

Задание 1. Найти вероятности событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

1.1. Инженер выполняет расчет, пользуясь тремя справочниками. Вероятности того, что интересующие его данные находятся в первом, втором и третьем справочниках соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что интересующие инженера данные содержатся:

а) только в одном справочнике;

б) только в двух справочниках;

в) во всех трех справочниках.

1.2. Вероятность поражения цели при одном выстреле у первого орудия неизвестна, а у второго орудия эта вероятность равна 0,8. Известно так же, что при одном залпе из двух орудий вероятность одного попадания составляет 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым орудием.

Задание 2. Найти вероятности событий, используя формулу полной вероятности и формулы Байеса.

2.1. Для участия в студенческих спортивных соревнованиях выделено из первой группы 5 студентов, из второй и третьей – соответственно 6 и 10 студентов. Вероятности выполнить норму мастера спорта соответственно равны для студентов первой группы – 0,3, второй – 0,4, третьей – 0,2. Найти вероятность того, что:

а) наугад взятый студент выполнит норму мастера спорта;

б) студент, выполнивший норму мастера спорта, учится во второй группе.

2.2. В канцелярии работают 3 секретаря, которые обрабатывают по 35 %, 25 % и 40 % исходящих документов за одно и то же время. Вероятности неверной адресации документов секретарями соответственно равны 0,02; 0,03 и 0,04. Найти вероятность того, что наудачу взятый документ, который оказался неверно адресованным, был обработан вторым секретарем.

Вариант 28

Задание 1. Найти вероятности событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

1.1. На сессии студенту предстоит сдать экзамены по трем предметам. Студент освоил 90 % вопросов по первому предмету, 95 % – по второму и 50 % – по третьему. Какова вероятность того, что студент:

а) сдаст ровно два экзамена;

б) сдаст хотя бы один экзамен;

в) не сдаст ни одного экзамена.

1.2. На предприятии имеется три автомобиля. Вероятность безотказной работы первого из них в течение определенного времени равна 0,9, второго – 0,7, третьего – 0,8. Найти вероятность того, что в течение зафиксированного промежутка времени сломается хотя бы один автомобиль.

Задание 2. Найти вероятности событий, используя формулу полной вероятности и формулы Байеса.

2.1. На участке, изготовляющем болты, первый станок производит 25 % всех изделий, второй – 35 %, третий – 40 %. В продукции каждого из станков брак составляет соответственно 5, 4, 2 %. Найти вероятность того, что:

а) взятый наугад болт с дефектом;

б) случайно взятый болт с дефектом изготовлен на третьем станке.

2.2. Была проведена одна и та же контрольная работа в трех параллельных группах. В первой группе, где 30 студентов, оказалось 8 работ, выполненных на «отлично»; во второй, где 28 студентов, – 6 работ; в третьей, где 27 студентов, – 9 работ. Все работы перемешали и наугад выбрали одну работу. Она оказалась написанной на «отлично». Найти вероятность того, что эта работа принадлежит студенту второй группы.

Вариант 29

Задание 1. Найти вероятности событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

1.1. На железобетонном заводе изготовляют панели, 90 % из которых – высшего сорта. Какова вероятность того, что из трех наугад выбранных панелей высшего сорта будут:

а) три панели;

б) хотя бы одна панель;

в) не более одной панели?

1.2. Четыре товарища решили пойти в кино. Вероятности того, что фильм, демонстрируемый в данном кинотеатре, их заинтересует, равны для первого, второго, третьего и четвертого товарищей 0,1; 0,2; 0,3 и 0,4 соответственно. Какова вероятность того, что выбранный фильм пойдут смотреть, по крайней мере, трое из них?

Задание 2. Найти вероятности событий, используя формулу полной вероятности и формулы Байеса.

2.1. На сборку поступают детали с четырех автоматов. Первый обрабатывает 40 % всех деталей, поступающих на сборку, второй – 30 %, третий – 20 % и четвертый – 10 %. Первый автомат дает 0,1 % брака, второй – 0,2 %, третий – 0,25 %, четвертый – 0,5 %. Найти вероятность того, что:

а) на сборку поступит стандартная деталь;

б) поступившая на сборку стандартная деталь изготовлена первым автоматом.

2.2. Перед посевом 90 % всех семян было обработано ядохимикатами. Вероятность поражения вредителями для растений из обработанных семян равна 0,08, для растений из необработанных семян – 0,04. Взятое наудачу растение оказалось пораженным. Найти вероятность того, что оно выращено из партии обработанных семян.

Вариант 30

Задание 1. Найти вероятности событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

1.1. В телестудии три телевизионные камеры. Вероятности того, что в данный момент камера включена, соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7. Найти вероятность того, что в данный момент включены:

а) две камеры;

б) не более одной камеры;

в) три камеры.

1.2. Вероятность поражения первой мишени для данного стрелка равна 0,6. Если при первом выстреле зафиксировано попадание, то стрелок получает право на следующий выстрел по второй мишени. Вероятность поражения обеих мишеней при двух выстрелах равна 0,3. Определить вероятность поражения второй мишени.

Задание 2. Найти вероятности событий, используя формулу полной вероятности и формулы Байеса.

2.1. Производится стрельба по мишеням трех типов, из которых 5 мишеней типа А, 3 мишени типа В и 3 мишени типа С. Вероятность попадания в мишень типа А равна 0,4, в мишень типа В – 0,1, в мишень типа С – 0,15. Найти вероятность того, что:

а) мишень будет поражена при одном выстреле, если неизвестно, по мишени какого типа он был сделан;

б) при одном выстреле (если неизвестно, по мишени какого типа он сделан) поражена мишень типа А.

2.2. В районе 24 человека обучаются на заочном факультете университета, из них 6 – на математическом факультете, 12 – на историческом факультете и 6 – на экономическом факультете. Вероятность успешно сдать все экзамены на предстоящей сессии для студентов математического факультета равна 0,6, исторического факультета – 0,76, экономического факультета – 0,8. Найти вероятность того, что наудачу взятый студент, сдавший успешно все экзамены, окажется студентом экономического факультета.

Содержание отчета

Отчет о полученных результатах должен содержать:

1. тему и цель лабораторной работы;

2. формулировку задания с указанием номера варианта;

3. решения заданий с указанием формул, используемых для вычислений;

4. сведенные в таблицу результаты вычислений (с точностью до 0,001).

Контрольные вопросы

1. Что называют суммой, или объединением, двух событий? Как ее обозначают?

2. Приведите примеры суммы двух событий.

3. Что называют произведением, или пересечением, двух событий? Как его обозначают?

4. Приведите примеры произведения трех событий.

5. Что называют разностью двух событий?

6. Приведите примеры разности двух событий.

7. Чему равна разность событий и ?

8. Когда говорят, что событие А влечет за собой событие В?

9. Какие события называются равными?

10. Равны ли события и ?

11. Влечет ли событие событие ?

12. Обязательно ли элементарное событие , входящее в сумму событий А + В, входит в событие В?

13. Может ли элементарное событие , входящее в сумму А + В, входить в А и В одновременно?

14. При каком условии элементарное событие , входящее в А, входит так же и в произведение событий ?

15. Входит ли произведение событий в событие А?

16. Каким событием будет произведение несовместных событий?

17. Каким событием будет сумма событий А и ?

18. Будут ли события А и совместными?

19. Для каких событий вероятность их суммы равна сумме их вероятностей?

20. Что больше: Р(А + В) или Р(А) + Р(В)?

21. Для каких событий выполняется равенство

?

22. Сформулируйте теорему о вероятности суммы n несовместных событий.

23. Чему равна сумма вероятностей противоположных событий?

24. Чему равна сумма вероятностей всех событий, образующих полную группу?

25. Как определить независимость двух событий?

26. Что называется условной вероятностью?

27. Чему равна вероятность произведения двух независимых событий?

28. Чему равна вероятность произведения двух событий?

29. Сформулируйте теорему о вероятности произведения n независимых событий.

30. Сформулируйте теорему о вероятности произведения n событий.

31. Какие события называют гипотезами?

32. Могут ли события Н₁ и Н₃ из полной группы событий быть совместными?

33. Могут ли изменяться вероятности гипотез после наступления события?

34. Какую вероятность называют априорной?

35. Какую вероятность называют апостериорной?

36. Напишите формулу полной вероятности.

37. Напишите формулы Байеса.