1. Теоретическая часть

Генеральная совокупность – это совокупность всех однородных объектов, подлежащих изучению. Выборка (выборочная совокупность) – совокупность объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности. Объемом совокупности (генеральной или выборочной) называется число ее объектов.

Пусть при изучении некоторого признака Х генеральной совокупности получена выборка со следующими значениями признака: х₁, х₂, х₃, …, х_n. Последовательность наблюдаемых значений признака, расположенных в возрастающем порядке, называется дискретным вариационным рядом, а сами значения вариантами.

Если среди вариант имеются равные, тогда получаем статистический ряд или статистическое распределение выборки:

Варианты	х1	х2	х3	…	xk
Частоты	n1	n2	n3	…	nk

Здесь n_i – частота варианты x_i, причем ∑n_i = n, где n – объем выборки.

Относительной частотой, или частостью, варианты x_i называется ω_i = n_i / n (i = 1, …, k).

При изучении непрерывных случайных величин строят так называемый интервальный вариационный ряд. Для этого интервал, в котором заключены все значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для каждого интервала сумму частот вариант, попавших в этот интервал. Полученные значения заносят в таблицу, которая и называется интервальным вариационным рядом:

Интервалы	[х0, х1)	[х1, х2)	[х2, х3)	…	[xk-1, xk)
Частоты	n1	n2	n3	…	nk

Число интервалов для построения интервального ряда находят по формуле

k = 1 + 1,4ln n, (5.1)

тогда длина интервала

где – размах выборки.

Для графического изображения дискретного статистического ряда используют полигон частот. Полигон частот – это ломаная, соединяющая точки (х₁, n₁), (х₂, n₂), (х₃, n₃), …, (x_k, n_k).

Для графического изображения интервального вариационного ряда используют гистограмму. Гистограмма частот – это ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны частотам n_i или n_i/h.

Пример 1. По выборке А построить статистический ряд, вычислить относительные частоты (частости) и накопленные частости, построить полигон частот статистического ряда.

Исходные данные:

Выборка А:

7	8	4	0	4	6	5	4	3	2	4	8	6	2	2
5	3	6	6	5	5	3	5	6	7	8	9	5	2	5
4	5	6	6	3	6	5	3	4	5	10	3	7	5	3
3	3	7	5	3	4	9	2	1	4	4	4	2	4	3
4	4	5	5	3	7	5	3	2	6	2	4	4	4	0
6	1	3	4	4	5	4	8	3	5	4	11	9	9

Решение. Составим статистический ряд, вычислим относительные частоты (частости), накопленные частости и занесем результаты вычислений в табл. 5.1.

Т а б л и ц а 5.1

Вари-анта	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
ni	2	2	8	15	20	17	10	5	4	4	1	1
i	2/89	2/89	8/89	15/89	20/89	17/89	10/89	5/89	4/89	4/89	1/89	1/89
	2/89	4/89	12/89	27/89	47/89	64/89	74/89	79/89	83/89	87/89	88/89	1

В первой строке табл. 5.1 приведены значения вариант, во второй строке – соответствующие частоты, в третьей и четвертой строках соответственно – относительные частоты (_i) и накопленные частности ( ).

Далее построим полигон частот статистического ряда А (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Полигон частот

Пример 2. По выборке В составить интервальный вариационный ряд, вычислить относительные частоты (частости) и накопленные частости, построить гистограмму частот интервального вариационного ряда.

Исходные данные:

Выборка В:

107	78	93	81	80	92	126	93	67	50	104	110
120	91	101	91	120	88	69	74	102	65	48	71
103	67	95	112	112	86	99	99	103	122	112	102
92	69	105	106	124	46	72	75	126	73	106	75
80	92	68	112	127	88	93	74	131	51	117	145
96	76	71	138	104	120	67	92	130	99	94	92
97	105	84	78	100	98	114	113	94	108	76	88
91	78	96	81	116	75	120	75	62	113	109	111
127	63	87	86	66	100	75	84	95	121	103	95
70	98	67	148	95	92	105	114	98	102	41	76
114	90	97	111	93	110	79	63	109	69	108	71
111	100	136	92	84	123	84	125	102	96	72	102
90	136	87	132	137	100	102	88	65	75	114	79
122	63	115	90	78	86	122	119	87	115	96	137
106	105	88	75	100	84	71	123	121	94	114	94
93	118	94	102	109	86	45	97	93	43	48	114
85	79	124	89	104	108	108	100	106	102	105	119
71	86	115	82	101

Решение. Объем выборки n = 209. Найдем размах выборки

Рассчитаем число интервалов для построения интервального вариационного ряда по формуле:

k = 1 + 1,4lnn или тогда длина частичного интервала

следовательно, строим интервальный вариационный ряд c шагом h = 12. Результаты заносим в табл. 5.2.

Гистограмма частот вариационного ряда имеет вид, показанный на рис. 5.2.

Т а б л и ц а 5.2

Интервал	[41, 53)	[53, 65)	[65, 77)	[77, 89)	[89, 101)	[101, 113)	[113, 125)	[125, 137)	[137, 148)
ni	8	4	32	31	48	42	29	10	5
i
									1

Рис. 5.2. Гистограмма частот

Пример 3. По данным выборки А построить полигон частот вариационного ряда с использованием табличного процессора Excel.

Решение. В средства табличного процессора Excel для обработки статистических данных входит Пакет анализа. Для выполнения лабораторной работы используем средство Гистограмма. Средство Гистограмма вычисляет выборочные и накопленные частоты ряда данных в интервалах, а также может выводить соответствующие графики. Границы интервалов (карманы) можно указать, обычно задают верхние границы интервалов (рис. 5.3).

Рис. 5.3

Вводим в поле страницы Excel исходные данные: в столбец А вводим все значения выборки, в столбец В – варианты.

Дальше выбираем Сервис/Анализ данных/Гистограмма.

В открывшемся окне заполняем поля: Входной интервал – данные столбца А, Интервал карманов – столбец В. Нажимаем ОК (рис. 5.4, 5.5).

В результате получаем значения вариант (столбец А) и их частоты (столбец В), которые изображены на рис. 5.6. По этим данным можно построить полигон частот статистического ряда с помощью Мастера диаграмм (тип диаграммы График) и получить полигон частот (рис. 5.7).

Пример 4. По данным выборки В построить гистограмму частот интервального вариационного ряда с использованием табличного процессора Excel.

Решение. Вводим в поле страницы Excel исходные данные: в столбец А вводим все значения выборки, в столбец В – правые границы частичных интервалов. Далее выбираем Сервис/Анализ данных/Гистограмма. В открывшемся окне заполняем поля: Входной интервал – данные столбца А, Интервал карманов – столбец В и ставим галочку напротив пункта Вывод графика. Нажимаем ОК (рис. 5.8, 5.9).

Рис. 5.4

Рис. 5.5

Рис. 5.6

Рис. 5.7

Рис. 5.8

Рис. 5.9

Получаем гистограмму частот интервального вариационного ряда В (рис. 5.10).

Рис. 5.10