Лабораторно-практическая работа 3
Законы распределения дискретных случайных
величин
Цель работы:
ознакомление с основными понятиями, касающимися случайных величин;
изучение законов распределения дискретных случайных величин;
применение полученных теоретических знаний на практике.
1. Теоретическая часть
Случайной величиной Х называется функция, определенная на пространстве элементарных событий Ω и принимающая числовые значения, причем для любого действительного х определена вероятность
Р(Х < х) = F(x), (3.1)
которая называется функцией распределения случайной величины Х.
Функция распределения F(х) – неубывающая, непрерывная слева функция, определенная на всей числовой оси.
Свойства функции распределения:
0 ≤ F(x) ≤ 1;
P(a ≤ X ≤ b) = F(b) – F(a);
F(–∞) = 0, F(+∞) = 1.
Случайные величины бывают трех типов: дискретные, непрерывные и смешанные (дискретно-непрерывные).
Случайная величина называется дискретной, если она может принимать конечное или бесконечное счетное число значений.
Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать бесконечное несчетное число значений (например, значения из какого-то интервала на числовой оси).
Если Х – дискретная случайная величина (ДСВ), принимающая значения х1, х2, … с вероятностями р1, р2, … соответственно, то ее функция распределения выражается формулой
(3.2)
Формулу (3.2) можно записать в виде
(3.3)
График функции распределения ДСВ представляет собой ступенчатую линию (рис. 3.1).
Законом (или рядом) распределения ДСВ Х называют таблицу следующего вида:
-
Х
х 1 х2 х3 …
P
р1 р2 р3 …
З
десь
хi
–
возможные значения Х,
рi
= Р(Х
= хi),
при этом
.
Рис. 3.1
Графическое изображение закона распределения называется многоугольником распределения. Для его построения в прямоугольной системе координат строят точки (х1, р1), (х2, р2), … и соединяют их отрезками прямых.
Вероятность того, что в n независимых испытаниях успех наступит ровно m раз, находится по формуле Бернулли
(3.4)
где
–
число сочетаний из n
по m;
р – вероятность успеха в одном испытании;
q = 1 – р – вероятность неудачи.
Формула (3.4) выражает так называемое биномиальное распределение вероятностей.
Число успехов m0, имеющее наибольшую вероятность, называют наивероятнейшим. Наивероятнейшее число успехов m0 находится из неравенства
np – q ≤ m0 ≤ np + p.
Если число опытов n велико, а вероятность успеха р мала (р < 0,1; npq ≤ 9), то вместо формулы (3.4) применяют приближенную формулу Пуассона
(3.5)
где λ = np.
Формула (3.5) используется в задачах, относящихся к появлению редких событий.
Если m1, m2 – целые числа, такие, что 0 ≤ m1 ≤ m2 ≤ n, то вероятность того, что успех наступит не менее m1 и не более m2 раз в n испытаниях, находится по формуле
(3.6)
В случае, когда n велико, а p и q не малы (npq 9), вместо формул (3.4) и (3.6) используют приближенные формулы:
(3.7)
где
(3.8)
где
– функция Лапласа (приложение 1).
Для значений функций φ(x) и Ф(x) составлены специальные таблицы.
Закон распределения непрерывной случайной величины (НСВ) Х задается или функцией распределения, или функцией плотности вероятности. Функция распределения НСВ Х выражается формулой
(3.9)
где f(x) ≥ 0 – функция плотности вероятности.
Свойства плотности вероятности:
f(x) = F'(x); (3.10)
График функции распределения F(x) непрерывной случайной величины является непрерывной кривой. График функции плотности называется кривой распределения.
Характеристиками положения случайной величины являются математическое ожидание, мода и медиана.
Математическим ожиданием случайной величины Х называют число М(Х), определяемое соответственно формулой (предполагается, что ряд и интеграл сходятся абсолютно)
(3.11)
если Х – дискретная случайная величина;
(3.12)
если Х – непрерывная случайная величина, причем хi – значения случайной величины, рi – их вероятности, f(x) – плотность вероятности.
Свойства математического ожидания:
М(С) = С, где С – const;
М(СХ) = С М(Х);
М(Х±Y) = M(X) ± M(Y), где Х и Y – любые случайные величины;
М(Х∙Y) = M(X)∙M(Y), если Х и Y – независимые случайные величины.
Случайные величины Х и Y называются независимыми, если для любых х и y имеет место
P(X < x, Y < y) = P(X < x) ∙ P(Y < y). (3.13)
Модой (М0) ДСВ называется ее наиболее вероятное значение. Модой НСВ называется то ее значение, при котором плотность вероятности максимальна.
Медианой НСВ Х называется такое ее значение Ме, для которого
(3.14)
Дисперсия определяется как математическое ожидание квадрата отклонений случайной величины от своего математического ожидания
D(X) = M(X – M(X))2. (3.15)
Для вычислений удобна также формула
D(X) = M(X2) – (M(X))2. (3.16)
Свойства дисперсии:
D(C) = 0, где С – const;
D(CX) = C2 D(X);
Если Х и Y – независимые случайные величины, то D(X ± Y) = D(X) + D(Y).
Дисперсия ДСВ Х вычисляется по формулам:
(3.17)
или
(3.18)
Пример 1. Из коробки, содержащей 25 деталей, среди которых 6 бракованных, наудачу выбраны три детали. Случайная величина Х – число бракованных деталей среди отобранных. Записать ряд распределения СВ Х, найти функцию распределения F(x) и построить ее график, вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение. Построить многоугольник распределения.
Решение. Случайная величина Х – дискретная и принимает значения: 0, 1, 2, 3. Найдем вероятность каждого значения по формуле классической вероятности.
Р(Х = 0) = Р (все три детали не бракованные) =
Р(Х = 1) = Р (одна из трех деталей бракованная) =
Р(Х = 2) = Р (две детали из трех бракованные) =
Р(Х = 3) = Р (все три детали бракованные) =
Ряд распределения СВ Х имеет следующий вид:
Х |
0 |
1 |
2 |
3 |
Р |
0,42 |
0,45 |
0,12 |
0,01 |
Проверка:
Функция распределения имеет вид:
График функции распределения F(x) представлен на рис. 3.2.
Рис. 3.2
Многоугольник распределения СВ Х представлен на рис. 3.3.
Рис. 3.3
Математическое ожидание СВ Х:
Дисперсия СВ Х:
Среднее квадратичное отклонение СВ Х:
