1.2. Области отклонения и принятия гипотез. Критическое значение тестовой статистики

Распределение статистики, положенной в основу критерия проверки гипотез, разделяется на две части — область отклонения гипотезы, иногда называемую критической областью, и область принятия гипотезы (рис. 1).

Если тестовая статистика попадает в область принятия гипотезы, нулевую гипотезу отклонить нельзя. Если тестовая статистика попадает в критическую область, нулевая гипотеза отклоняется.

В критическую область попадают лишь те значения тестовой статистики, при которых нулевая гипотеза неверна. Следовательно, если некое значение тестовой статистики попадает в критическую область, нулевую гипотезу следует отклонить. При проверке гипотез, прежде всего, следует определить критическое значение тестовой статистики. Это число отделяет область принятия гипотезы от области отклонения гипотезы и зависит от размера критической области. Размер критической области непосредственно связан с величиной риска, возникающего, когда параметр генеральной совокупности оценивается по выборочным данным.

Область отклонения гипотезы

Область отклонения гипотезы

m

Область принятия гипотезы

X

Критическое значение,

-Z_кр

Критическое значение,

Z_кр

Рис. 1. Области принятия и отклонения гипотез

При проверке гипотез, прежде всего, следует определить критическое значение тестовой статистики. Это число отделяет область принятия гипотезы от области отклонения гипотезы и зависит от размера критической области. Размер критической области непосредственно связан с величиной риска, возникающего, когда параметр генеральной совокупности оценивается по выборочным данным.

1.3. Риски, возникающие при проверке гипотез

При оценке параметра генеральной совокупности по выборочным значениям существует риск прийти к неверным выводам. При проверке гипотез возможны два типа ошибок: 1- и 2-го рода.

Ошибка 1-го рода возникает, когда отклоняется истинная нулевая гипотеза Н₀. Ее вероятность обозначается буквой α.

Ошибка 2-го рода возникает, когда не отклоняется ложная нулевая гипотеза Н₁. Ее вероятность обозначается буквой β.

Уровень значимости (α). Вероятность сделать ошибку 1-го рода обозначается буквой α и называется уровнем значимости статистического критерия. Эта вероятность определяет уровень риска, возникающего при отклонении истинной гипотезы. Поскольку уровень значимости задается заранее, он находится под полным контролем лица, выполняющего проверку. Как правило, уровни значимости равны 0,01, 0,05 и 0,1. Уровень риска зависит от стоимости ошибки 1-го рода. По уровню значимости α можно вычислить размер критической области, а значит, и критическое значение статистики, положенной в основу критерия.

Доверительная вероятность. Вероятность события, противоположного ошибке 1-го рода, называется доверительной вероятностью и равна 1-α.

Доверительная вероятность 1-α равна вероятности принять истинную нулевую гипотезу Н₀.

Доверительный уровень критерия равен (1-α)х100% .

В терминах теории проверки гипотез доверительная вероятность представляет собой вероятность прийти к выводу, что проверяемое значение параметра является достоверным, когда это на самом деле так.

Уровень риска (β). Вероятность ошибки 2-го рода обозначается буквой β. В отличие от ошибки 1-го рода, которая зависит от уровня значимости α, вероятность ошибки 2-го рода зависит от разности между заявленным (гарантируемым) параметром и фактической выборочной статистикой. Поскольку большую разность легче заметить, чем маленькую, при большой разности вероятность ошибки 2-го рода мала. С другой стороны, если разность между выборочной статистикой и гипотетическим параметром генеральной совокупности мала, вероятность ошибки 2-го рода становится большой.

Мощность критерия. Вероятность 1-β и называется мощностью статистического критерия.

Мощность критерия 1-β равна вероятности того, что ложная нулевая гипотеза Н₀ будет отклонена.