Область отклонения гипотезы = 0,025

Область отклонения гипотезы = 0,025

Область принятия гипотезы

= 0,95

Критическое значение

Z= - 1,96

Критическое значение

Z = + 1,96

X

m =125

Рис. 2. Области принятия и отклонения гипотезы о математическом ожидании при известном стандартном отклонении и уровне значимости, равном 0,05

Проверка гипотез по наблюдаемому уровню значимости

Часто в качестве критерия проверки гипотез используют р – значение или наблюдаемый уровень значимости. На основе анализа набора исходных данных этому значению соответствует минимальная вероятность, при которой нулевая гипотеза H₀ будет отклонена. Правило отклонения гипотезы H₀ в этом случае выглядит так.

1. Если р - значение больше или равно α, нулевая гипотеза не отклоняется.

2. Если р - значение меньше α, нулевая гипотеза отклоняется.

Наблюдаемый уровень значимости, или р - значение, представляет собой вероятность, при которой нулевая гипотеза H₀ может быть принята.

Применим подход, использующий уровень значимости. Для двустороннего критерия необходимо найти вероятность того, что статистика Z больше +1,15 или меньше, чем -1,15. По таблицам нормального распределения легко определить, что уровень значимости для двустороннего критерия равен 1- 0,7499 = 0,2501. Следовательно, вероятность того, что тестовая статистика лежит в области отклонения гипотезы, равна 0,2501. Поскольку эта величина больше, чем заданная ошибка 1-го рода α, нулевую гипотезу отклонять нельзя.

1.6. Односторонние критерии

Когда нулевая гипотеза предполагает равенство исследуемого параметра генеральной совокупности заданному значению, то область отклонения гипотезы разделяется на две части, равные величине α/2.

Иногда при проверке гипотез бывает необходимо установить, что параметр генеральной совокупности строго больше или меньше заданного значения. Рассмотрим один из таких примеров. Допустим, что отдел социальной защиты населения должен принимать не менее 12 посетителей в день (μ = 12). Установлено стандартное отклонение для этого значения на уровне σ = 4. С целью проверки выполнения требований было подсчитано число принятых посетителей за 15 случайно выбранных дней и вычислено среднее количество посетителей, обслуживаемых отделом социальной защиты населения ежедневно. В результате обработки статистических данных было получено:

=160:15 = 10,667 посетителей.

В данном примере нулевая и альтернативная гипотезы формулируются так:

H₀: μ ≥ 12;

H₁: μ < 12.

Здесь нас интересует одно пороговое значение: «Не стало ли количество обслуживаемых посетителей за день меньше номинального»? Поэтому область отклонения гипотезы теперь ограничена лишь левым хвостом нормального распределения. Когда область отклонения гипотезы ограничена только одним хвостом распределения, критерий называется односторонним. Если альтернативная гипотеза содержит знак «меньше», критическое значение тестовой статистики Z должно быть отрицательным. Поскольку вся область отклонения гипотезы ограничена левым хвостом стандартизованного нормального распределения и его площадь должна быть равной 0,05, то, как показано в таблицах нормального распределения и на рис. 3, критическое значение тестовой статистики Z равно -1,645.

Таким образом, решающее правило выглядит следующим образом:

если Z < - 1,645, гипотеза отклоняется;

в противном случае она не отклоняется.

Для проверки гипотезы H₀ применяется Z-критерий, и с этой целью по формуле (1) вычисляется статистика:

Рис. 3. Односторонний критерий для проверки гипотезы о математическом ожидании генеральной совокупности при известном стандартном отклонении и уровне значимости, равном 0,05

Поскольку расчетное значение Z = -1,291 > Z_кр = -1,645, гипотеза H₀ не имеет оснований для ее отклонения.

Для вычисления р - значения необходимо определить вероятность того, что Z < -1,291. Вероятность этого события равна 0,0985. Эта величина больше уровня значимости α = 0,05. Нулевая гипотеза H₀ не отклоняется.

Алгоритм оценки нулевой и альтернативной гипотезы для одностороннего критерия

• Нулевая гипотеза H₀ всегда формулируется относительно конкретного значения параметра генеральной совокупности (например, математического ожидания μ, а не выборочной статистики, например, выборочного среднего ).

• Альтернативная гипотеза H₁ является отрицанием нулевой гипотезы и представляет собой исследовательское предположение или особое умозаключение, которое требуется доказать.

• Если нулевая гипотеза отвергается, альтернативная гипотеза считается истинной.

• Если нулевая гипотеза не отвергается, альтернативная гипотеза считается не доказанной. Однако недоказанность альтернативной гипотезы не означает, что нулевая гипотеза является истинной.

• Нулевая гипотеза всегда содержит утверждение о равенстве параметра генеральной совокупности заранее заданному значению.

• Альтернативная гипотеза никогда не содержит утверждения о равенстве параметра генеральной совокупности заранее заданному значению.