1.7. Использование t-критерия для проверки гипотезы о математическом ожидании при неизвестном стандартном отклонении

В большинстве ситуаций, касающихся числовых данных, стандартное отклонение σ неизвестно. Однако эту величину можно оценить, вычислив выборочное стандартное отклонение S. Если генеральная совокупность является нормально распределенной, выборочное среднее обладает t - распределением Стьюдента с n-1 степенями свободы. Это дает возможность сформулировать t - критерий для оценки разности между выборочным средним и математическим ожиданием генеральной совокупности μ:

, (2)

где тестовая статистика t имеет t-распределение с n-1 степенями свободы.

Упражнение 2.

Чтобы проиллюстрировать применение t-критерия, рассмотрим задачу аудиторской проверки некоторой компании «ВЕК». Для проверки аудитор извлекает из информационной системы выборку накладных, заполненных в течение последнего месяца.

Средняя сумма накладных за последние пять лет равна 120 тыс. руб. Аудитор должен оценить, изменилась ли сумма накладных. Иначе говоря, в ходе проверки гипотезы требуется доказать, что средняя сумма накладных увеличивается или уменьшается.

Для проверки гипотезы с помощью двустороннего критерия применяем следующий алгоритм.

1. Формулируем нулевую и альтернативную гипотезы.

H₀: μ = 120 тыс. руб.,

H₁: μ ≠ 120 тыс. руб.

Если нулевая гипотеза отклоняется, значит, у нас есть веские доказательства того, что средняя сумма накладных отличается от 120 тыс. руб. Если нулевая гипотеза не отклоняется, значит, у нас нет достаточных доказательств, чтобы утверждать, будто средняя сумма накладных отличается от 120 тыс. руб.

2. Полагаем α = 0,05.

3. Из генеральной совокупности накладных извлекается случайная выборка. Предположим, что ее размер равен n = 12 накладных.

4. Поскольку предполагается, что генеральная совокупность является нормально распределенной, применяем t-критерий.

5. Для распределения Стьюдента, фрагмент которого приведен в табл. 2, определяем критически значения для t-распределения с n-1 степенями свободы и α = 0,05. Поскольку альтернативная гипотеза H₁: μ ≠ 120 тыс. руб. является ненаправленной, область отклонения гипотезы в t-критерии разделяется на две части, ограниченные левым и правым хвостами t-распределения. Площадь каждой из областей равна 0,025. Поэтому критические значения t-распределения с 12-1=11 степенями соответственно равны: - 2,2010 и + 2,2010.

6. По табл. 2 определяем, что критическое значение равно ± 2,2010.

Решающее правило таково:

если t < - t₁₁ = - 2,2010 или если t > t₁₁ = + 2,2010, то нулевая гипотеза отклоняется;

в противном случае она не отклоняется.

Ниже приведены данные о суммах накладных расходов (тыс. руб.) из выборки, состоящей из 12 накладных.

108,98

152,22

111,45

110,59

127,46

107,26

93,32

91,97

111,56

75,71

128,58

135,11

Результаты вычислений, связанных с аудиторской проверкой компании выглядят следующим образом.

тыс. руб.

тыс. руб.

В соответствии с формулой (3.5) t-статистика равна:

.

Таблица 2

Вычисление критического значения t-статистики для интегральной площади, равной 0,025, при 11 степенях свободы

Площади, ограниченные правым хвостом распределения
Степени свободы	0,25	0,10	0,05	0,025	0,01	0,005
1	1,0000	3,0777	6,3138	12,7062	31,8207	63,6574
2	0,8165	1,8856	2,9200	4,3027	6,9646	9,9248
3	0,7649	1,6377	2,3534	3,1824	4,5407	5,8409
4	0,7407	1,5332	2,1318	2,7764	3,7469	4,6041
5	0,7267	1,4759	2,0150	2,5706	3,3649	4,0322
6	0,7176	1,4398	1,9432	2,4469	3,1427	3,7074
7	0,7111	1,4149	1,8946	2,3646	2,9980	3,4995
8	0,7064	1,3968	1,8595	2,3060	2,8965	3,3554
9	0,7027	1,3830	1,8331	2,2622	2,8214	3,2498
10	0,6998	1,3722	1,8125	2,2281	2,7638	3,1693
11	0,6974	1,3634	1,7959	2,2010	2,7181	3,1058

По результатам вычислений имеем, что тестовая статистика попадает в область принятия гипотезы:

- 2,201 < t = - 1,19 < 2,201.

Поэтому аудитор не имеет оснований утверждать, что средняя сумма накладных за последний месяц значительно отличается от 120 тыс. руб., и гипотеза Н₀ не отклоняется.

Описательные статистики, полученные с помощью программы Microsoft Excel на основе данных о накладных, приведены в табл. 3.

Таблица 3

Столбец накладных
Среднее	112,8508
Стандартная ошибка 20,80:√12=6,004	6,003863
Медиана	111,02
Стандартное отклонение	20,79799
Дисперсия выборки	432,5565

Выборочный t-критерий применяется в тех ситуациях, когда стандартное отклонение генеральной совокупности σ неизвестно и оценивается с помощью выборочного стандартного отклонения S. Этот критерий является классической параметрической процедурой. Он сопровождается большим количеством строгих ограничений, гарантирующих корректность полученных результатов. Основное ограничение – это предположение о том, что выборка принадлежит нормально распределенной генеральной совокупности. На практике, бывает достаточно того, что выборка весьма велика, а распределение не слишком асимметрично.

Условия, налагаемые на применение t-критерия, можно проверить с помощью программы Microsoft Excel. Предположение о нормальности распределения можно проверить несколькими способами. Чтобы убедиться, насколько точно выборочные данные соответствуют теоретическим свойствам нормального распределения, можно воспользоваться многими научными методами, среди которых особо следует выделить критерий χ² .