III. Критерии оценки свойств двух зависимых генеральных совокупностей
3. 1. Критерии для оценки разности между двумя математическими ожиданиями
Эта ситуация наиболее часто возникает, когда между элементами выборок наблюдаются парные результаты измерений, выполненных на одном и том же множестве элементов. При этом представляет интерес разность между величинами, а не сами величины как таковые.
Например, можно сравнить качество результатов работы двух рекламных кампаний, используемых для одного и того же процесса или продукта различные виды рекламы. На практике так же представляет интерес анализа зависимых повторных измерений одних и тех же свойств продукта.
Независимо от подхода к решению задачи, цель исследования двух зависимых выборок - это выявление различия между результатами двух измерений, характеризующих качество свойства или процесса.
Для того чтобы определить, существует ли разница между двумя группами событий, сначала вычисляют разности между отдельными элементами каждой пары событий.
Пусть Х11, Х12 , .,., Х1n — n наблюдений из одной выборки, а Х21, Х22 , …, X2n — n наблюдений из второй выборки, соответствующих значениям из первой выборки. Вычислим попарные разности между соответствующими элементами обеих выборок:
Для оценки средней разности между средними значениями двух зависимых выборок величины Ri рассматриваются как наблюдения, принадлежащие одной и той же выборке. Если стандартное отклонение разностей известно, то вычисляется Z статистика10, которая для рассматриваемой ситуации имеет следующий вид:
,
(10)
где
гипотетическое
математическое ожидание;
— стандартное
отклонение генеральной совокупности
разностей.
Как уже упоминалось, в большинстве ситуаций стандартное отклонение генеральной совокупности неизвестно. Единственным параметром, доступным исследователю, являются выборочные статистики, например, выборочное среднее, выборочная дисперсия и выборочное стандартное отклонение.
Если разности предполагаются случайными и независимыми величинами, имеющими нормальное распределение, для оценки разности между математическими ожиданиями зависимых генеральных совокупностей можно применить t-критерий. Для этого следует вычислить t-статистику, имеющую распределение Стьюдента с n -1 степенями свободы.
Несмотря на то, что генеральная совокупность предполагается нормально распределенной, на практике при достаточно больших объемах выборки и умеренной асимметрии выборочное распределение средней разности R также можно аппроксимировать t-распределением Стьюдента.
Чтобы проверить нулевую и альтернативную гипотезы:
где
необходимо вычислить t-статистику по формуле (10).
По определению t-статистика с n-1 степенями свободы имеет вид:
,
(9)
где
При заданном уровне значимости α нулевая гипотеза отклоняется, если t-статистика больше верхнего критического значения tn-1 или меньше нижнего критического значения tn-1 распределения Стьюдента с n-1 степенями свободы. Иначе говоря, решающее правило выглядит следующим образом:
нулевая гипотеза Н0 отклоняется, если t > tn-1 или t < - tn-1;
в противном случае нулевая гипотеза не отклоняется.
Чтобы продемонстрировать применение t-критерия для оценки разности между двумя математическими ожиданиями, продолжим рассмотрение примеров из области образовательной деятельности.
Упражнение 5.
Предположим, для оценки качества усвоения материала по Закону о техническом регулировании разработан тест. В соответствии с условиями этого теста студенту предлагается ответить на 10 вопросов. За каждый правильный ответ студент получает один балл, а за неправильный ответ – ноль баллов. Для оценки качества усвоения положений Закона о техническом регулировании, из группы случайным образом выбраны 10 студентов и с ними проведено три этапа тестирования:
* 1-й или начальный этап проводится после самостоятельного изучения студентами положений Закона;
* 2-й этап проводится после групповой консультации, на которой разбираются общие для всей группы недостатки 1-го этапа тестирования;
* 3-й этап проводится после индивидуальной консультации, на которой разбираются конкретные ошибки, допущенные каждым студентом.
Результаты 3-х этапов тестирования одной и той же группы студентов приведены в табл. 8.
Данные табл. 8 свидетельствуют о том, что количество баллов, набираемых одной и той же группой студентов, возрастает с увеличением номера тестирования. Однако возникает вопрос: существенен ли достигаемый успех в уровне подготовки студентов?
Таблица 8