1.8. Применение z-критерия для проверки гипотезы о доле признака в генеральной совокупности

Ранее уже рассматривалась проверка гипотез о доле признака с использованием гипергеометрического распределения. При этом был отмечен основной недостаток этой методологии, заключающийся в громоздкости вычислений. Даже при сравнительно небольших размерах генеральной совокупности. В то же время, в теории статистических решений показано, что если значения доли признака d в выборке размера п и величина п – d⁵ больше пяти, выборочное распределение доли хорошо аппроксимируется стандартизованным нормальным распределением.

Чтобы оценить разность между фактической долей признака р_n в выборке и гипотетическим параметром генеральной совокупности р, применяется Z - критерий для проверки гипотезы о доле признака:

(3)

где р_n – наблюдаемая доля признака в выборке объема п;

р — гипотетическая доля признака в генеральной совокупности;

Z – статистика, аппроксимируемая стандартизованным нормальным распределением.

Статистику, положенную в основу Z-критерия, можно записать следующим образом.

, т.к. (4)

(5)

где npq = np(1-p) - дисперсия биноминального распределения.

В качестве иллюстрации рассмотрим решение следующего упражнения.

Упражнение 3.

Исследования, проведенные в последние годы, по оценке перспектив развития экономики страны, в частности, показывают, что оптимальное соотношение лиц с высшим образованием технической и гуманитарной направленности должно находиться в соотношении 60% к 40% соответственно.

В ходе опроса 878 юношей и девушек, планирующих в 2013 году поступить в вузы, 495 представителей из опрошенной молодежи выбрали техническую направленность.

Необходимо сформулировать нулевую и альтернативную гипотезы и оценить также соблюдается ли оптимальное соотношение для поступающих на технические и гуманитарные специальности.

Нулевая и альтернативная гипотезы формулируются следующим образом:

Н₀: р = 0,60 (доля лиц, поступающих на технические специальности, равна 0,6);

Н₁: р ≠ 0,60 (доля лиц, поступающих на технические специальности, не равна 0,6).

Поскольку среди 878 опрошенных оказалось 495 человек, которые выбрали специальность технической направленности, имеем:

Используя формулу (5), получаем:

В приведенном упражнении сформулирован двусторонний критерий. Поэтому при уровне значимости равном 0,05 решающее правило выглядит следующим образом:

если Z > +1,96 или Z < -1,96, гипотеза Н₀ отклоняется;

в противном случае она принимается.

Поскольку -2,177 < -1,96, нулевую гипотезу следует отклонить. Таким образом, есть основания утверждать, что в 2013году не будут созданы условия для оптимального соотношения в стране лиц с высшим образованием технической и гуманитарной направленности.

II. Проверка гипотез для оценки свойств двух генеральных совокупностей

2,1. Использование z-критерия6 для оценки разности между двумя математическими ожиданиями

Проверка гипотез основана на предположениях и подтверждающем подходе к анализу данных. В этом разделе описываются процедуры проверки гипотез на основе двух числовых выборок, извлеченных из двух генеральных совокупностей. Например, равны ли средние значения оценок по семестрам для 2-х групп, обучающихся по специальности «Управление качеством» в различных вузах? Или можно ли считать, что качество обучения, качество производства, качество предоставляемой услуги в 2-х сравниваемых организациях, предназначенных для выполнения идентичных задач, статистически неразличимы. Здесь некорректно говорить о равенстве выполняемых процессов различными организациями. Любая работа, любой процесс, даже если они периодически выполняется одной и той же организацией, будут различаться, но их различие не сказывается на достижении конечного результата, или не может быть выявлено с помощью используемых методических и инструментальных средств. Поэтому о статистической устойчивости процессов или статистическом равенстве получаемых результатов судят с определенной степенью доверия. В дальнейшем, если не будет специальных оговорок, за доверительный уровень будет принят 95% доверительный интервал, которому соответствует уровень значимости α = 0,05.

Предположим, что из первой генеральной совокупности извлекается случайная выборка, имеющая объем n₁ а из второй — случайная выборка, объем которой равен n₂. Требуется проанализировать данные, принадлежащие каждой выборке. Обозначим математическое ожидание первой генеральной совокупности через µ₁ а стандартное отклонение — через s₁. Аналогично математическое ожидание второй генеральной совокупности обозначим символом µ ₂, а стандартное отклонение — s₂.

Статистика, положенная в основу критерия для проверки равенства математических ожиданий двух генеральных совокупностей, основана на оценки величины разности между выборочными средними , выраженной в долях стандартного отклонения. По центральной предельной теореме при достаточно больших объемах выборок эта статистика имеет стандартизованное нормальное распределение. Следовательно, для оценки разности двух математических ожиданий можно сформулировать следующий Z – критерий:

(6)