Контрольні питання до змістового модуля іv

1. В чому полягає сутність транспортної задачі?

2. Що називають тарифом?

3. Дайте визначення закритої транспортної задачі.

4. Як відкриту транспортну задачу звести до закритої?

5. Що називають опорним планом транспортної задачі?

6. Що є необхідною і достатньою умовою існування розв’язку транспортної задачі?

7. В чому полягає алгоритм методу потенціалів?

8. Які методи використовують для побудови початкового опорного плану транспортної задачі?

9. В чому полягає сутність методу Фогеля?

10. Чи може виникнути вродженість опорного план при переході від однієї таблиці транспортної задачі до іншої?

11. В чому полягає сутність методу потенціалів?

12. Сформулюйте критерій оптимальності плану перевезень.

13. Наведіть приклади ускладнених транспортних задач.

14. Які з економічних задач можуть бути зведені до транспортної задачі?

15. Які задачі називають багатопродуктовими транспортними задачами?

16. Які блокувати певну поставку?

17. В чому полягає сутність задачі про призначення?

Індивідуальні завдання для самостійної роботи зі змістового модулю і

1. Побудувати математичну модель задачі

1.  Підприємство випускає три види виробів. Місячна програма випуску складає 200 виробів першого виду, 1800 – другого, 1500 – третього. Для випуску виробів використовують матеріали, щомісячні витрати яких не можуть перевищувати 61000 кг. На один виріб 1-го виду витрачають 8 кг матеріалу, 2-го – 10 кг, 3-го – 11 кг. Оптова ціна одного виробу першого виду 7 грн., другого і третього – відповідно 10 грн. і 9 грн. Визначити оптимальний план випуску виробів, що забезпечує підприємству максимальну виручку.

2.  Меблева фабрика виготовляє столи, стільці, бюро і книжкові шафи, використовуючи два різні види дощок, причому фабрика має 500 м дощок першого виду і 1000 м дощок другого. Крім того, задано трудові ресурси в кількості 800 чіл./час. У таблиці приведені нормативи витрат кожного виду ресурсів на виготовлення одного виробу і дохід на один виріб.

	Витрати на один виріб
Ресурси	Столи	Стільці	Бюро	Книжкові шафи
Дошки I виду, м	5	1	9	12
Дошки ІІ виду, м	2	3	4	1
Трудові ресурси, чол./год	3	2	5	10
Дохід на один виріб, грн.	12	5	15	10

Визначити оптимальний асортимент, що максимізує дохід,.

3.  На звірофермі можуть вирощувати чорно-бурих лисиць і песців, для яких заготовлюють три види кормів. Кількість корму кожного виду, який повинні щодня отримувати тварини, загальна кількість корму кожного виду, який може бути використаний фермою, і дохід від реалізації однієї шкірки лисиці і песця представлено в таблиці:

Вид корму	Кількість одиниць корму		Загальна кількість корму
	лисиця	песець
1	2	3	360
2	4	1	480
3	6	7	852
Дохід від реалізації однієї шкірки (грн.)	320	250

Визначити скільки лисиць і песців необхідно виростити на фермі, щоб дохід від реалізації їх шкірок був максимальний.

4.  Для перевезення вантажу використовують машини типів А і Б. Вантажоємність машин кожного типу 3 т. За один раз машина витрачає 1,5 кг змащувальних матеріалів і 50 л бензину. Витрати на експлуатацію машини А складають 80 грн., Б – 50 грн. Необхідно перевести 60 т вантажу. Скільки потрібно використовувати машин типів А і Б, щоб експлуатаційні витрати були мінімальними?

5.  Для перевезення вантажу на 3-х напрямах можуть бути використанні кораблі трьох типів. Вантажопідйомність кораблів (С_ij) при використанні їх на різних напрямах характеризується числами, що приведені в таблиці. В ній вказується також загальний час експлуатації і мінімально необхідні обсяги перевезення на кожному з напрямів. Визначити який корабель, на якому напрямі і впродовж якого часу необхідно використовувати, щоб забезпечувати максимальне завантаження кораблів з урахуванням можливого часу їх експлуатації.

Вид кораблів	Вантажопідйомність кораблів (млн. т./км за пору) на напрямі			Загальний час експлуатації
	1	2	3
1	9	15	12	300
2	7	16	14	300
3	13	13	5	300
Обсяг перевезень, млн. т.	4000	5400	4300

6.  На трьох групах обладнання необхідно виготовити вироби чотирьох типів. Встановлений план виробництва: виробів типу А – 2000 шт., Б – 1000 шт., В – 200 шт., Г – 250 шт. Дані про собівартість кожного виробу, трудомісткості і фон робочого часу задані в таблиці.

Обладнання	Собівартість одного виробу, грн.				Час на виготовлення одного виробу, хв.				Фонд часу, хв.
	А	Б	В	Г	А	Б	В	Г
1	1,5	2,4	0,9	1,4	4	8,0	2,5	4,0	35000
2	1,8	1,2	1,0	1,7	2,5	1,2	1,0	1,7	16000
3	2,7	5,4	6,0	5,6	3,5	1,5	1,0	1,2	22000

Скласти план завантаження обладнання, при якому мінімізуються собівартість виготовлених виробів.

7.  Розподілити чотири сорти палива, яке є в кількостях 70, 40, 50, 40 т відповідно кожного сорту, між п’ятьма агрегатами, потреби яких складають 20, 40, 50, 60 і 40 т відповідно. Задана матриця теплоутворювальної здатності: , де С_ij – теплоутворювальна здатність і-го сорту палива при використанні його в j-му агрегаті. Знайти оптимальний розподіл палива між агрегатами, при якому буде отримано максимальну кількість теплоти від всього запасу палива.

8.  У заводській лабораторії створюється антифрикційний сплав (олов’янистий бабіт), який повинен містити: олова – не менше 15%, сурми – не менше 15%, свинцю – близько 70%. Є чотири сплави, процентний склад і ціни на яких приведені в таблиці:

Елементи	Сплав
	1	2	3	4
Олово	12	20	12	20
Сурма	12	18	18	14
Свинець	76	62	70	66
Ціна за 1	3, 5	5, 2	4, 0	4, 6

Розрахувати кількість елементів для сплаву кожного виду, що необхідні для 1 кг суміші, яка б забезпечила мінімальні витрати.

9. На трьох складах оптової бази знаходиться однорідний вантаж в кількостях 200, 80 і 100 од. Цей вантаж необхідно перевезти в чотири магазини, кожен з яких отримує відповідно 130, 50, 70, 90 од. вантажу. Тарифи перевезення одиниці вантажу з кожного складу у всі магазини задаються матрицею: . Скласти такий план перевезень, при якому загальна вартість перевезень буде мінімальною.

10. Зібраний урожай зерна трьох сільськогосподарських артілей повинен бути перевезеним на три елеватори, елеватора А₁ потужністю 100 тис. т., елеватор А₂ потужністю 80 тис. т. і елеватор А₃ потужністю 90 тис. т. Відомі транспортні витрати C_ij перевезення 1 т. зерна від кожної артілі до кожного елеватора, а також запасі зерна артілей, які приведені в таблиці:

С/х артіль	Витрати на перевезення 1 т зерна на елеватори, тис. грн.			Запаси зерна, тыс. т.
	В1	В2	В3
А1	12, 5	24, 0	18, 4	80
А2	28, 3	14, 5	25, 7	90
А3	15, 7	20, 6	16, 3	100

Визначити план перевезення зерна на елеватори, що мінімізує транспортні витрати.

11. При виробництві продукції Р₁ і Р₂ використовують 4 групи обладнання А, В, С і D. На випуск одиниці продукції Р₁ витрачається в одиницю часу 1; 0,5; 2 і 0 од. обладнання А, В, С і D відповідно, а одиниці продукції Р₂ – 1; 1; 0 і 2 од. обладнання А, В, С і D. Фонд робочого часу групи А складає 18, В – 12, С – 24 і D – 18 од. часу. Підприємство реалізує одиницю продукції Р₁ за ціною 40 грош. од., Р₂ – 60 грош. од. Знайти план випуску продукції, при якому виручка підприємства буде максимальною.

12.  Для кондитерської фабрики потрібно розрахувати оптимальний по прибутку план випуску карамелі. Весь асортимент карамелі роздільний на три однорідні групи, умовно позначені K₁, K₂ і К₃. Для виробництва карамелі потрібно цукровий пісок, патока, фруктове пюре. У таблиці вказані запаси цих видів сировини в тоннах; прибуток на одиницю кожного виду карамелі, що випускається, в грош. од. за 1 т; норми витрати сировини на виробництво одиниці кожного виду.

Вид сировини	Норми витрати			Запас сировини
	K1	K2	K3
Цукровий пісок	0,8	0,5	0,6	700
Патока	0,4	0,4	0,3	300
Фруктове пюре	-	0,1	0,1	150
Прибуток від реалізації	1000	1100	1200

Інші види сировини, що входять в готовий продукт в невеликих кількостях, не враховуються. Знайти план виробництва карамелі, що забезпечує максимальний прибуток від її реалізації.

13. У досвідченому господарстві встановили, що відгодівля тварин вигідна тоді, коли тварина отримуватиме в денному раціоні не менше 6 од. живильної речовини А, не менше 12 од. речовини В і не менше 4 од. речовини С. Для годування тварин використовується два види корму. У таблиці показано, скільки одиниць кожної живильної речовини містить 1 кг корму кожного виду.

Живильні речовини	Види корму
	I	II
А	2	1
У	2	4
З	0	4

Ціна 1 кг корму виду I рівна 50 грош. од., корму виду II – 60 грош. од. Скільки корму кожного виду необхідно витрачати щодня, щоб витрати на нього були мінімальними?

14. З вокзалу можна відправляти щодня швидкі і кур’єрські поїзди. Місткість вагонів і наявний парк вагонів вказані в таблиці:

Характеристика парку вагонів	Тип вагону
	Багажний	Поштовий	Плацкартний	Купейний	Люкс
Число вагонів в поїзді:
Кур’єрському	1	—	5	6	3
Швидкому	1	1	8	4	1
Число пасажирів	—	—	58	40	32
Парк вагонів	12	8	81	70	27

Скласти математичну модель і вибрати таке співвідношення між числом швидких і кур’єрських поїздів, щоб число пасажирів, яких можна відправити щодня, досягло максимуму.

15. У овочевий магазин привозять одним видом транспорту картоплю з трьох колгоспів відповідно 40, 30 і 10 грош. од. за 1 кг На розвантаження і складування 1 т. картоплі за допомогою стрічкового транспортера вимагається часу: з першого колгоспу – 1 хв., з другого – 4 хв., з третього – 3 хв. (різний час розвантаження пояснюється відмінністю затоварювання картоплею). Щоб без затримки задовольняти потребу покупців, потрібно на розвантаження 12 т. картоплі, що замовляються щодня магазином, витрачати не більше 40 хв. Відомо, що перший колгосп може щодня поставляти не більше 10 т., другий – не більше 8 т., третій – не більше 6 т. картоплі. Скільки картоплі треба привозити в магазин з кожного колгоспу, щоб загальна вартість картоплі була мінімальною?

16. Бригада прийняла замовлення на виготовлення 50 од. продукції P₁, 30 од. продукції Р₂ і 45 од. продукції Р₃. Продукція виробляється на верстатах А і В. Для виготовлення на верстаті А одиниці продукції Р₁ потрібно 4 од. часу, одиниці продукції Р₂ – 40 од. часу, одиниці продукції Р₃ – 10 од. часу, на верстаті В – відповідно 6, 8 і 20 од. часу. Необхідно знайти план використання обладнання, тобто вказати, скільки продукції і якого виду слід виготовити на верстатах А і В, щоб замовлення було виконане в мінімальний час.

17. Для збереження нормальної життєдіяльності чоловік повинен в добу споживати білків не менше 120 од., жирів не менше 70 і вітамінів не менше 10 од. Зміст їх в продуктах Р₁ і Р₂ дорівнює відповідно (0,2; 0,075; 0) і (0,1; 0,1; 0,1). Вартість 1 од. продукту Р₁ – 2 грош. од., Р₂ – 3 грош. од. Потрібно так організувати живлення, щоб його вартість була мінімальною, а організм отримав необхідну кількість живильних речовин.

18. Підприємство електронної промисловості випускає дві моделі радіоприймачів. Кожна модель проводиться на окремій технологічній лінії. Добовий обсяг виробництва першої лінії – 60 виробів, другої – 75. На радіоприймач першої моделі витрачається 10 однотипних елементів електронних схем, другій моделі – 8. Найбільший добовий запас використовуваних елементів дорівнює 800 од. Прибуток від реалізації одного радіоприймача першої і другої моделей відповідно 3000 і 2000 грош. од. Визначити оптимальні добові обсяги виробництва першої і другої моделей.

19. Процес виготовлення промислових виробів двох видів X₁ і Х₂ полягає в послідовній обробці кожного з них на трьох верстатах. Час використання цих верстатів для виробництва даних виробів обмежений 10 год. в добу. Час обробки одного виробу (у хв.) і прибуток від продажу одного виробу кожного виду вказана в таблиці:

Верстати	Продукція, що випускається			Ліміт часу
	X1		Х2
1 2 3	10 6 8	5 20 15		10 10 10
Прибуток	200	300

Знайти оптимальні обсяги виробництва виробів кожного виду, що максимізують прибуток.

20. Фірма має можливість рекламувати свою продукцію, використовуючи місцеві радио- і телевізійні мережі. Витрати на рекламу в бюджеті фірми обмежені 100000 грош. од. у місяць. Кожна хвилина радіореклами коштує 500 грош. од., а кожна хв. телереклами – в 10000 грош. од. Фірма хотіла б використовувати радіомережу принаймні в 2 рази чаші, чим телебачення. Досвід минулих років показав, що обсяг збуту, який забезпечує кожна хвилина телереклами, в 25 разів більше збуту, що забезпечується 1 хв. радіореклами. Визначити оптимальний розподіл фінансових коштів, що щомісячно відпускаються на радио- і телерекламу.

21. У районі лісового масиву є лісопильний завод і фанерна фабрика. Щоб отримати 2,5 м³ комплектів пиломатеріалів, що комерційно реалізовуються, необхідно витратити 2,5 м³ ялинових і 7,5 м³ ялицевих лісоматеріалів. Для приготування 100 м² фанери потрібно 5 м³ ялинових і 10 м³ ялицевих лісоматеріалів. Згідно умовам постачань протягом планованого періоду необхідно провести, принаймні, 10 м³ пиломатеріалів і 1200 м³ фанери. Дохід з 1 м³ пиломатеріалів складає 1600 грош. од., а з 100 м² фанери – 6000 грош. од. Визначити оптимальний план виробництва пиломатеріалів і фанери.

22. Підприємство виробляє продукцію двох видів Р₁ і Р₂. Для виготовлення продукції Р₁ і Р₂ використовують одну і ту ж сировину, добовий запас якої дорівнює 100 кг. Витрати сировини на одиницю продукції Р₁ дорівнюють 2 кг, а на одиницю продукції Р₂ – 4 кг. Ціни продукції Р₁ і Р₂ – 20 і 40 грош. од. відповідно. Визначити оптимальний розподіл сировини для виготовлення продукції Р₁ і Р₂, щоб прибуток від реалізації був максимальним.

23. Фірма випускає капелюхи двох фасонів. Трудомісткість виготовлення капелюха першого фасону удвічі вища за трудомісткість виготовлення капелюха другого фасону. Якби фірма випускала тільки капелюхи першого фасону, то добовий обсяг виробництва міг би скласти 500 капелюхів. Добовий обсяг збуту капелюхів обох фасонів обмежений – 200 штук. Прибуток від продажу капелюха першого фасону рівний 80 грош. од., другого – 50 грош. од. Визначити оптимальний план випуску капелюхів, що максимізує прибуток.

24. Є корми двох видів: сіно і силос. Їх можна використовувати для годування худоби в кількості відповідного не більше 50 і 85 кг. Скласти кормовий раціон мінімальної вартості, в якому міститься не менше 30 кормових одиниць, не менше 1 кг протеїну, не менше 100 г кальцію, не менше 80 г фосфору. Дані про поживність кормів і їх вартості з розрахунку на 1 кг приведені в таблиці.

Живильні речовини	Корма		Нижня норма, зміст живильних речовин
	сіно	силос
Кормові одиниці, кг Протеїн, г Кальцій, г Фосфор, г	0,5 40 1,25 2	0,3 10 2,5 1	30 1000 100 80
Собівартість 1 кг, грош. од.	12	8

25. Підприємство може випускати продукцію двох видів: Р₁ і Р₂ Використовують три види ресурсів: обладнання, сировина і електроенергія. Норми витрати, ліміти ресурсів і прибуток від одиниці продукції представлені в таблиці:

Ресурси		Норми витрати на одиницю продукції				Обсяг ресурсу
	Р1		Р2
Обладнання Сировина Електроенергія		2 1 2		3 1 1		31 12 20
Прибуток за ед. продукції, грош. од.		40		25

Знайти оптимальний план випуску продукції.

26. На придбання обладнання для нової виробничої ділянки виділено 300 тис. грош. од. Його передбачається розмістити на площі 45 м². Ділянка може бути оснащена обладнанням трьох видів: 1) машинами вартістю 6 тис. грош. од. (тут і далі всі показники наводяться на одиницю обладнання), що розміщуються на площі 9м², продуктивністю 8 тис. од. продукції за зміну; 2) машинами вартістю 3 тис. грош. од., що займають площу 4 м², продуктивністю 4 тис. одиниць продукції за зміну; 3) машинами вартістю 2 тис. грош. од., що займають площу 3 м², продуктивністю 3 тис. грош. од. продукції. Побудувати модель завдання визначення плану придбання обладнання, що забезпечує найбільшу продуктивність всієї ділянки.

27. Механічний цех може виготовити за зміну 600 деталей N₁ або 1200 деталей N₂. Виробнича потужність термічного цеху, куди ці деталі поступають на термообробку того ж дня, дозволяє обробити за зміну 1200 деталей N₁ або 800 деталей N₂. Ціни на деталі однакові. Визначити виробничу програму випуску деталей, що максимізувала товарну продукцію підприємства за умови, що обидва цехи працюють одну зміну.

28. Підприємство може працювати по п’яти технологічних процесах T₁, T₂, T₃, T₄ і Т₅, причому кількість одиниць продукції, що випускається, по різних технологічних процесах за 1 од. часу відповідно дорівнює 300, 260, 320, 400 і 450 од. В процесі виробництва враховуються наступні виробничі чинники: сировина, електроенергія, зарплата і накладні витрати. Витрати відповідних чинників при роботі по різних технологіях протягом 1 од. часу вказані в таблиці. Знайти програму максимального випуску продукції.

Виробничі чинники	Витрати на різних технологіях					Наявність чинника
	Т1	Т2	Т3	Т4	Т5
Сировина	15	20	12	14	18	2000
Електроенергія	0,20	0,30	0,15	0,25	0,30	300
Накладні витрати	4	5	6	3	2	1000
Зарплата	6	3	4	6	3	1600

29. На п’яти верстатах різних типів можна виконувати п’ять операцій по обробці деталей. При цьому, через технологію виробництва за кожним з верстатів може бути закріплена тільки одна операція і одна операція може виконуватися тільки одним верстатом. Час виконання кожної з операцій на кожному з верстатів задано матрицею

.

Потрібно розподілити виконання операцій між верстатами так, щоб сумарний час на обробку деталей був мінімальним.

30. Для виготовлення сплаву зі свинцю, цинку, олова певного складу використовується сировина у вигляді п’яти сплавів з тих же металів, що відрізняються складом і вартістю 1 кг:

Тип сплаву	Зміст металу %			Питома вартість ден. ед./кг
	Свинець	Цинк	Олово
I	15	40	45	8
II	10	80	10	17
III	30	30	40	10
IV	40	25	35	12
V	10	70	20	15

Яку кількість сплаву кожного виду потрібно узяти, щоб виготовити при мінімальній собівартості сплав, що містить 20% свинцю, 30% цинку і 50 % олова?

2. Побудувати на площині область допустимих розв’язків системи лінійних нерівностей і графічно знайти найменше і найбільше значення цільової функції.

1.		2.		3.
4.		5.		6.
7.		8.		9.
10.		11.		12.
13.		14.		15.
16.		17.		18.
19.		20.		21.
22.		23.		24.
25.		26.		27.
28.		29.		30.

3. Розв’язати задачу лінійного програмування симплексним методом, дати розв’язку геометричну інтерпретацію.

1.		2.		3.
4.		5.		6.
7.		8.		9.
10.		11.		12.
13.		14.		15.
16.		17.		18.
19.		20.		21.
22.		23.		24.
25.		26.		27.
28.		29.		30.

4. Знайти оптимальне рішення задачі цілочислового лінійного програмування

1.		2.		3.
4.		5.		6.
7.		8.		9.
10.		11.		12.
13.		14.		15.
16.		17.		18.
19.		20.		21.
22.		23.		24.
25.		26.		27.
28.		29.		30.