9.2.2. Критерій Колмогорова-Смірнова.

Цей критерій запропонований Смірновим в 1939р. і в подальшому розвинутий самим автором і Колмогоровим. Він застосовується тоді, коли перевіряємий розподіл неперервний і відомі середнє і дисперсія сукупності. Таблиця його критичних значень була опублікована Смірновим в 1948р. Подібно критерію критерій Колмогорова-Смірнова може бути використаний для перевірки відповідності між розподілом сукупності емпіричних даних і деяким теоретичним розподілом. Перевірка здійснюється шляхом задання інтегральної функції, яка випливає з теоретичного розподілу, і її порівняння з інтегральною функцією розподілу емпіричних даних.

Порівняння базується на вибірковій групі, в якій експериментальний розподіл має найбільше абсолютне значення по відношенню теоретичного. Далі ця абсолютна різниця співставляється з критичним значенням з метою визначення чи може таке відхилення бути випадковим при заданому законі розподілу.

Приклад.

Візьмемо дані попередньої таблиці, які перевіряються по критерію на відповідність розподілу Пуасона. Для цієї сукупності λ = 0.5577. Гіпотеза H0 полягає в тому, що немає суттєвих розходжень між спостерігаємими даними і тими, які повинні отримуватися у випадку розподілу Пуасона із середнім значенням 0.5577 і n=509.

Перш за все, необхідно знайти два інтегральних розподіли – із спостерігаємих даних і із теоретичного розподілу – і знайти абсолютні різниці для всіх груп значень випадкових величин. Це зроблено в наступній таблиці

число запитів	I спостерігаєма частота	II спостерігаєма ймовірн.	III теоретична ймов.	IV інтегральна ймов.II	V інтегральна ймов. III	VI абсолютна різниця IV-V
0	315	0,619	0,571	0,619	0,571	0,048
1	142	0,279	0,319	0,898	0,890	0,008
2	40	0,078	0,089	0,976	0,979	0,003
3	9	0,018	0,017	0,994	0,996	0,002
4	2	0,004	0,003	0,998	0,999	0,001
5	1	0,002	0,001	1,000	1,000	0,000

Найбільша абсолютна різниця 0.048 отримується в групі, яка відповідає нульовому числу запитів. Це значення порівнюється з критичним значенням, яке знаходиться по таблиці при n=509 і =0.05, Dкр= =0.0603 для n>=30. Оскільки 0.048 менше критичного значення, то гіпотеза H0 про відповідність розподілу закону Пуасона приймається. Для деяких таблиць критичних значень розраховані статистики:

F(x) - теоретична функція розподілу ;

Fn(x) - емпірична функція розподілу ;

Fn(x)=(кількість значень х1, х2,...,хn<=x)/n, де

n - довжина вибірки.

Статистики k_n⁺ і k_n^- можна визначити за допомогою наступного алгоритму:

1. визначаються вибіркові значення x1, x2,...., xn;

2. значення xi розміщується в порядку зростання, так щоб x1<=x2<=x3<=...<=xn ;

3. необхідні статистики обчислюються за формулами:

Виникає питання, коли слід користуватися критерієм , а коли критерієм Колмогорова-Смірнова. При відносно малих об'ємах вибірки критерій взагалі непридатний і слід користуватися критерієм Колмогорова-Смірнова. До того ж, коли об'єм вибірки настільки малий, що для використання критерію слід об'єднувати сусідні групи, потужність цього критерію в якійсь степені понижується. Однак, якщо об'єм вибірки достатньо великий, переважним є критерій . Критерій досить потужний для вибірок n>=100. Критерій Колмогорова-Смірнова - для 10<=n<=99. При використанні як критерію , так і критерію Колмогорова-Смірнова є можливість задавати число груп або інтервалів вибірки. Правильний вибір цього числа має велике значення, оскільки визначає число степенів вільності при використанні критерію. Чим більше це число, тим надійніше критерій розпізнає характер розподілу. У випадку критерію число груп часто визначається з умови, щоб у кожну групу попало не менше 5 експериментальних точок. У випадку використання критерію Колмогорова-Смірнова дані можна як групувати, так і відносити кожне спостереження до окремої групи. Остання умова відкриває можливість ефективного аналізу при малих вибірках.