Лекція 7. Методи моделювання випадкових величин.

1. Вибірковий метод Монте-Карло.

    Отримання вибірок по методу Монте-Карло є основним принципом моделювання систем, які містять стохастичні або ймовірнісні елементи. Його зародження пов'язане з роботою Фон-Неймана і Улана в кінці 40^-их рр., коли вони ввели термін Монте-Карло і застосували цей метод для рішення деяких задач екранування ядерних випромінювань. Цей математичний метод був відомий вже багато років, але друге народження він пережив, коли знайшов в Лос-Аламосі застосування в закритих роботах по ядерній техніці, які велися під кодовою назвою Монте-Карло.

Хоча найбільшу користь метод приносить при моделюванні ймовірнісних ситуацій, він може бути застосований і до деяких повністю детермінованих задач, які не мають аналітичного рішення. Приклад: обчислення інтегралів.

В методі Монте-Карло дані попереднього спостереження виробляються штучним шляхом, використовуючи деякі генератори випадкових чисел в поєднанні з інтегральною функцією розподілу ймовірностей для досліджуваного процесу. Таким генератором може бути таблиця, колесо рулетки, підпрограма ЕОМ, або будь-яке інше джерело рівномірно розподілених чисел. Розподіл, який підлягає розігруванню може бути оснований на емпіричних даних або може представляти відомий теоретичний розподіл. Випадкові числа використовуються для отримання дискретного ряду випадкових змінних, який імітує результати, які можна було б очікувати у відповідності з розігруваним ймовірнісним розподілом. Метод полягає в наступному:

    Щоб отримати штучну випадкову вибірку, яка описується деякою функцією розподілу ймовірностей, слід:

1. побудувати графік або таблицю інтегральної функції розподілу на основі ряду чисел, який відображає досліджуваний процес, але не на основі ряду випадкових чисел. Причому значення випадкової змінної процесу відкладається по вісі абсцис (x), а значення ймовірності від 0 до 1 по вісі ординат (y);

2. за допомогою генератора випадкових чисел вибрати випадкове десяткове число в межах від 0 до 1 з потрібною кількістю розрядів;

3. провести горизонтальну пряму від точки вісі ординат, яка відповідає вибраному випадковому числу до перетину з кривою розподілу ймовірностей;

4. опустити з точки перетину перпендикуляр на вісь абсцис;

5. записати отримане значення x. Дальше воно застосовується як вибіркове значення;

6. повторити кроки 2-5 для всіх потрібних випадкових змінних.

    Приклад (рис 7.1. – рис. 7.3):     Припустимо, ми маємо систему, в якій за кожні 10 хвилин кількість клієнтів, які потребують обслуговування, відповідають наступному розподілу.

Число клієнтів Ймовірність Кумулятивна функція розподілу 1 0,2 0,2 2 0,1 0,3 3 0,3 0,6 4 0,3 0,9 5 0,05 0,95 6 0,05 1

Рис. 7.1. Таблиця емпіричних даних.

Рис. 7.2. Розподіл кумулятивних ймовірностей.

Період часу Ймовірність Кількістьклієнтів 1 0,1 1 2 0,15 2 3 0,75 4 4 0,99 6 5 0,63 4 6 0,3 2

Рис. 7.3. Реалізація по методу Монте-Карло.

    Якщо розподіл ймовірностей неперервний, спосіб застосування метода залишається тим самим, тільки крива розподілу буде не ступеневою, а плавною (рис. 7.4).

Рис. 7.4. Функція закону розподілу неперервної випадкової величини.

    Оскільки найчастіше зустрічаються нормальні (Гаусові) розподіли, то існують розраховані таблиці для різних коефіцієнтів цих розподілів. Так для того, щоб отримати нормально розподілену випадкову величину з параметрами μ і σ слід взяти з таблиці з параметрамиμ=0 і σ=1 нормальне випадкове число, помножити його на σ і результати додати до середнього значення. В більшості обчислювальних центрів в бібліотеці програм користувачів є генератори випадкових змінних для найбільш розповсюджених законів розподілу. При розробці імітаційної моделі, яка містить стохастичні або ймовірнісні елементи завжди виникає питання чи слід при методі Монте-Карло застосовувати емпіричні дані або треба скористатися одним з теоретичних розподілів. Це питання фундаментальне по трьом причинам:

1. при використанні емпіричних даних розуміється, що моделюється тільки минуле;

2. використання теоретичних розподілів в більшості випадків дає кращі результати з точки зору витрат машинного часу і потрібного об'єму пам'яті ЕОМ;

3. при використанні теоретичного розподілу легше змінювати параметри генератора випадкових чисел, коли треба перевірити чутливість моделі або “програти”, на ній різні можливі ситуації. Якщо є можливість використання теоретичних розподілів, модель як правило стає більш корисною.