2. Неперервно-детерміновані моделі (d-схеми).

Розглянемо особливості неперервно-детермінованого підходу на прикладі використання в якості математичних моделей диференційні рівняння.

Диференційні рівняння - це рівняння, в яких невідомими є функції однієї або декількох змінних. Математичне співвідношення для детермінованих систем в загальному вигляді може бути представлене так:

Функція f задана в (к+1)-мірному просторі (y,t).

Оскільки такі математичні схеми відображають динаміку системи, яку вивчається, то вони називаються D-схемами.

Розглянемо застосування D-схем на прикладі систем автоматичного управління. Багатовимірну систему управління можна представити так (рис.3.1):

Рис. 3.1. Багатовимірна система автоматичного управління.

Розглянемо одноканальну систему автоматичного управління, яка описується D-схемою загального вигляду:

F(yⁿ,y^n-1, ... , y’, y, x^m, x^m-1, ... , x’, x)=0, де

y_i - похідні і-того порядку від t;

x_j - похідні j-того порядку від t;

Нехай система S працює в деякому режимі, який характеризується функцією . Позначимо малі відхилення від цих функцій через:

відповідно. Тоді .

Лінеарізуємо це рівняння розкладаючи функцію F в ряд Тейлора і обмежуючись його лінійними елементами відносно .

Тобто

Оскільки рівняння наближено описує поведінку системи, то похідні обчислюють при деяких фіксованих значеннях змінних, які входять до їх складу. Таким чином для лінійних систем автоматичного управління можна записати лінійне рівняння.

a₀*dⁿy/dtⁿ+a₁*d^n-1y/dt^n-1+...+a_n-1*dy/dt+a_n*y=b₀*d^mx/dt^m+b₁*d^m-1x/dt^m-1+...+b_m-1*dx/dt+b_n*x Для спрощення передбачається, що точки прикладення дій впливу співпадають з входом системи. Для рішення диференційного лінійного рівняння можна використати операторні методи, які заміняють диференційне рівняння алгебраїчним рівнянням.

Лекція 4. Дискретно-детерміновані моделі (f-схеми).

Особливості дискретно-детермінованого підходу розглянемо на прикладі використання в якості математичного апарату теорію автоматів. На основі цієї теорії система представляється у вигляді автомата, який перетворює дискретну інформацію і змінює свій внутрішній стан лише в допустимі моменти часу. Абстрактний скінчений автомат можна представити як математичну схему, яка характеризується шістьма елементами: скінченою множиною х вхідних сигналів (вхідний алфавіт), скінченою множиною y вихідних сигналів (вихідний алфавіт), скінченою множиною z внутрішніх станів (внутрішній алфавіт), початковим станом z0, функцією переходів φ(z,x), функцією виходів ψ(z,x).

Автомат задається:

F( z, x, y, φ, ψ, z0 ) (4.1)

Цей автомат функціонує в дискретному автоматному часі, моментами якого є такти, кожному з яких відповідають постійні значення вхідних, вихідних сигналів і внутрішній стан. Робота скінченого автомата виконується по наступній схемі:

в кожному t+1 такті на вхід автомата, який знаходиться в стані z(t), подається деякий сигнал x(t+1), на який він реагує переходом в t+1 такті в новий стан z(t+1) з видачею деякого вихідного сигнала. Для F-автомата першого роду, який називається автоматом Мілі, можна записати такі співвідношення:

z(t+1)= φ[z(t), x(t+1)], t=0,1,2, ... (4.2)

y(t+1)= ψ[z(t), x(t+1)], t=0,1,2, ... (4.3)

Скінчений автомат другого роду можна представити:

z(t+1)= φ[z(t), x(t+1)], t=0,1,2, ... (4.4)

y(t+1)= ψ[z(t+1), x(t+1)], t=0,1,2, ... (4.5)

Якщо y(t)= ψ[z(t)] , то такий автомат другого роду називається автоматом Мура.

По кількості станів розрізняють скінчені автомати з пам’ятю і без пам’яті. Автомати з пам’ятю мають більше одного стану, а автомати без пам'яті (комбінаційні, логічні схеми) мають лише один стан. Робота комбінаційної схеми згідно (4.6) заключається в тому, що вона ставить у відповідність кожному вхідному сигналу x(t) певний вихідний сигнал Y(t), тобто реалізує логічну функцію виду:

y(t)= ψ[x(t)], t=0,1,2, ... (4.6)

Ця функція називається булевою, якщо алфовіти x та y складаються з двох літер. По характеру відліку дискретного часу скінчені автомати поділяються на синхронні і асинхронні.

В синхронних F- автоматах моменти часу, в які автомат зчитує вхідні сигнали визначаються примусово синхронізуючими сигналами. Після чергового синхронізуючого сигнала з врахуванням зчитаного і у відповідності з рівняннями (4.2)-(4.5) відбувається перехід в новий стан і видача сигнала на виході, після чого автомат може сприймати наступне значення вхідного сигналу. Асинхронний F-автомат зчитує вхідний сигнал неперервно і тому, реагуючи на достатньо довгий вхідний сигнал постійної величини x він може, як випливає з рівнянь (4.2)-(4.5), декілька разів змінювати свій стан видаючи відповідну кількість вихідних сигналів, поки не перейде в стійкий, який вже не може бути змінений даним вхідним сигналом.

Існує декілька способів задання роботи F- автоматів, але найчастіше використовується табличний, графічний та матричний. Найпростіший - табличний спосіб задання скінченого автомата, який базується на використанні таблиць переходів і виходів, стрічки яких відповідають вхідним сигналам автомата, а стовбці - його станам. При цьому перший зліва стовбець відповідає початковому стану z0. На перетині i-тої стрічки і к-того стовбця таблиці переходів розміщується відповідне значення функції φ(zk,xi), а в таблиці виходів - функції ψ(zk,xi).

Для F- автомата Мура обидві таблиці можна сумістити, отримавши так звану відмічену таблицю переходів, в якій над кожним станом zk автомата стоїть відповідний цьому стану згідно (4.5) вихідний сигнал ψ(zk).

Таблиця переходів та виходів F-автомата Мілі.

Таблиця переходів

Таблиця виходів